Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho biết đường cong $\left( w \right)$ là tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y+z-6=0;\left( \beta \right):x+y+z+6=0.$ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( w \right)$ bằng
A. $45\pi .$
B. $3\sqrt{5}.$
C. $9\pi .$
D. 3.
A. $45\pi .$
B. $3\sqrt{5}.$
C. $9\pi .$
D. 3.
Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với hai mặt $\left( \alpha \right);\left( \beta \right)\Rightarrow d\left[ d;\left( \alpha \right) \right]=d\left[ I;\left( \beta \right) \right]$
$\Leftrightarrow \left| x+y+z-6 \right|=\left| x+y+z+6 \right|\Leftrightarrow x+y+z-6=-x-y-z-6\Leftrightarrow x+y+z=0$
Suy ra tập hợp tâm mặt cầu $\left( S \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z=0$
Ta có $\left( S \right)$ đi qua $A\Rightarrow IA=R=d\left[ \left( \alpha \right);\left( P \right) \right]\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ $\left( T \right)$ nên đường cong $\left( w \right)$ giới hạn bởi $\left( T \right)$ và $\left( P \right)$
Hay $\left( w \right)$ là hình tròn có bán kính $r=\sqrt{R_{\left( T \right)}^{2}-{{d}^{2}}\left[ A;\left( P \right) \right]}=3\Rightarrow {{S}_{\left( \omega \right)}}=\pi {{r}^{2}}=9\pi .$
$\Leftrightarrow \left| x+y+z-6 \right|=\left| x+y+z+6 \right|\Leftrightarrow x+y+z-6=-x-y-z-6\Leftrightarrow x+y+z=0$
Suy ra tập hợp tâm mặt cầu $\left( S \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z=0$
Ta có $\left( S \right)$ đi qua $A\Rightarrow IA=R=d\left[ \left( \alpha \right);\left( P \right) \right]\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ $\left( T \right)$ nên đường cong $\left( w \right)$ giới hạn bởi $\left( T \right)$ và $\left( P \right)$
Hay $\left( w \right)$ là hình tròn có bán kính $r=\sqrt{R_{\left( T \right)}^{2}-{{d}^{2}}\left[ A;\left( P \right) \right]}=3\Rightarrow {{S}_{\left( \omega \right)}}=\pi {{r}^{2}}=9\pi .$
Đáp án C.