Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng $(P):x-2y+z-1=0;$ $(Q):x-2y+z+8=0$
$,(R):x-2y+z-4=0$. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của $T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{AC}$ bằng
A. $72\sqrt[3]{3}$
B. 96
C. 108
D. 32
$,(R):x-2y+z-4=0$. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của $T=A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{AC}$ bằng
A. $72\sqrt[3]{3}$
B. 96
C. 108
D. 32
Vì $(P)//(Q)//(R)$
Suy ra $\Rightarrow d\left[ (P);(Q) \right]=\dfrac{3\sqrt{6}}{2};d\left[ (P);(R) \right]=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
=> Điểm C nằm giữa A, B $\Rightarrow \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{d\left[ (P);(R) \right]}{d\left[ (P);(Q) \right]}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow AB=3AC$
Khi đó $A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{AC}=9A{{C}^{2}}+\dfrac{144}{AC}=9A{{C}^{2}}+\dfrac{72}{AC}+\dfrac{72}{AC}$
Suy ra $T\ge 3.\sqrt[3]{9A{{C}^{2}}.\dfrac{72}{AC}.\dfrac{72}{AC}}=108$
Vậy ${{T}_{\min }}=108$
Suy ra $\Rightarrow d\left[ (P);(Q) \right]=\dfrac{3\sqrt{6}}{2};d\left[ (P);(R) \right]=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
=> Điểm C nằm giữa A, B $\Rightarrow \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{d\left[ (P);(R) \right]}{d\left[ (P);(Q) \right]}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow AB=3AC$
Khi đó $A{{B}^{2}}+\dfrac{144}{AC}=9A{{C}^{2}}+\dfrac{144}{AC}=9A{{C}^{2}}+\dfrac{72}{AC}+\dfrac{72}{AC}$
Suy ra $T\ge 3.\sqrt[3]{9A{{C}^{2}}.\dfrac{72}{AC}.\dfrac{72}{AC}}=108$
Vậy ${{T}_{\min }}=108$
Đáp án C.