Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng $\left( P...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 1 = 0, (Q) : x - 2 y + z + 8 = 0, (R) : x - 2 y + z - 4 = 0

. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng

(P), (Q), (R)

lần lượt tại

A, B, C

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

T = A B^{2} + \frac{144}{A C^{2}}

A. 24
B. 36
C. 72
D. 144

Ta có

(P), (Q), (R)

đôi một song song và

(P)

nằm giữa

(Q), (R)

.
Kẻ

B H ⊥ (P), B K ⊥ (R) \Rightarrow B, H, K

thẳng hàng.
Điểm

M (0; 0; - 8) \in (Q) . B H = d (M; (P)) = 3; B K = d (M; (R)) = 4 \Rightarrow H K = 1

Ta có

\frac{A B}{A C} = \frac{B H}{H K} = 3 \Rightarrow A B = 3 A C

$\Rightarrow T = 9 A C^{2} + \frac{144}{A C^{2}} \geq 2 \sqrt{9 A C^{2} . \frac{144}{A C^{2}}} = 72$
Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow A C = 2

(thỏa mãn

A C > H K = 1

). Chọn C.

Đáp án C.