Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt cầu lần lượt có phương trình là
${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5;{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$ và ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$. Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và X, Y, Z là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu. Giả sử $MX=MY=MZ$, khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng có véctơ chỉ phương là
A. $\left( 1;8;-7 \right)$.
B. $\left( 9;8;-7 \right)$.
C. $\left( 1;-1;9 \right)$.
D. $\left( 2;-1;8 \right)$.
Mặt cầu ${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5$ có tâm ${{I}_{1}}=\left( -5;1;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{5}$.
Mặt cầu ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$ có tâm ${{I}_{2}}=\left( 0;-2;3 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{6}$.
Mặt cầu ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$ có tâm ${{I}_{3}}=\left( -1;0;4 \right)$ bán kính ${{R}_{3}}=3$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$.
Ta có: $M{{X}^{2}}={{I}_{1}}{{M}^{2}}-R_{1}^{2}\Leftrightarrow M{{X}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}-5$.
$M{{Y}^{2}}={{I}_{2}}{{M}^{2}}-R_{2}^{2}\Leftrightarrow M{{Y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}-6$.
$M{{Z}^{2}}={{I}_{3}}{{M}^{2}}-R_{3}^{2}\Leftrightarrow M{{Z}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}-9$.
Theo giả thiết $MX=MY\Leftrightarrow M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}\Leftrightarrow 5x-3y+3z+7=0$.
Vậy điểm M thuộc mặt phẳng $5x-3y+3z+7=0$ có véctơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{1}}=\left( 5;-3;3 \right)$.(1)
Theo giả thiết $MY=MZ\Leftrightarrow M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}\Leftrightarrow 2x-4y-2z+1=0$.
Vậy điểm M thuộc mặt phẳng $2x-4y-2z+1=0$ có véctơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{2}}=\left( 2;-4;-2 \right)$.(2)
Từ (1) và (2) điểm M thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{1}},{{\overrightarrow{n}}_{2}} \right]=\left( 18;16;-14 \right)$.
Kết luận: điểm M thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương có tọa độ $\left( 9;8;-7 \right)$.
Bước 2: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn giả thiết thứ hai, giả sử tập hợp đó là Q.
Bước 3: Tập hợp điểm M thỏa yêu cầu bài toán là giao của hai tập P, Q.
${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5;{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$ và ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$. Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và X, Y, Z là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu. Giả sử $MX=MY=MZ$, khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng có véctơ chỉ phương là
A. $\left( 1;8;-7 \right)$.
B. $\left( 9;8;-7 \right)$.
C. $\left( 1;-1;9 \right)$.
D. $\left( 2;-1;8 \right)$.
Mặt cầu ${{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5$ có tâm ${{I}_{1}}=\left( -5;1;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{5}$.
Mặt cầu ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=6$ có tâm ${{I}_{2}}=\left( 0;-2;3 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{6}$.
Mặt cầu ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$ có tâm ${{I}_{3}}=\left( -1;0;4 \right)$ bán kính ${{R}_{3}}=3$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$.
Ta có: $M{{X}^{2}}={{I}_{1}}{{M}^{2}}-R_{1}^{2}\Leftrightarrow M{{X}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}-5$.
$M{{Y}^{2}}={{I}_{2}}{{M}^{2}}-R_{2}^{2}\Leftrightarrow M{{Y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}-6$.
$M{{Z}^{2}}={{I}_{3}}{{M}^{2}}-R_{3}^{2}\Leftrightarrow M{{Z}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}-9$.
Theo giả thiết $MX=MY\Leftrightarrow M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}\Leftrightarrow 5x-3y+3z+7=0$.
Vậy điểm M thuộc mặt phẳng $5x-3y+3z+7=0$ có véctơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{1}}=\left( 5;-3;3 \right)$.(1)
Theo giả thiết $MY=MZ\Leftrightarrow M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}\Leftrightarrow 2x-4y-2z+1=0$.
Vậy điểm M thuộc mặt phẳng $2x-4y-2z+1=0$ có véctơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{2}}=\left( 2;-4;-2 \right)$.(2)
Từ (1) và (2) điểm M thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{1}},{{\overrightarrow{n}}_{2}} \right]=\left( 18;16;-14 \right)$.
Kết luận: điểm M thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương có tọa độ $\left( 9;8;-7 \right)$.
Note 54: Phương pháp chung
Bước 1: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn giả thiết thứ nhất, giả sử tập hợp đó là PBước 2: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn giả thiết thứ hai, giả sử tập hợp đó là Q.
Bước 3: Tập hợp điểm M thỏa yêu cầu bài toán là giao của hai tập P, Q.
Đáp án B.