Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt cầu có phương trình ${{(x+5)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=5$, ${{x}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=6$, ${{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-4)}^{2}}=9$. Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và X, Y, Z là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ba mặt cầu. Giả sử $M\text{X}=MY=M\text{Z}$, khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng có vectơ chỉ phương.
A. $(1;8;-7)$
B. $(9;8;-7)$
C. $(1;-1;9)$
D. $(2;-1;8)$
Giả sử ba mặt cầu đã cho lần lượt là $({{S}_{1}}),({{S}_{2}}),({{S}_{3}})$.
Xét mặt cầu $({{S}_{1}})$ có tâm ${{I}_{1}}(-5;1;0)$ và bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{5}$. Ta có MX là tiếp tuyến kẻ từ M đến mặt $({{S}_{1}})$ nên $M{{\text{X}}^{2}}=MI_{1}^{2}-R_{1}^{2}={{(-5-{{x}_{M}})}^{2}}+{{(1-{{y}_{M}})}^{2}}+{{(0-{{z}_{M}})}^{2}}-5=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+10{{x}_{M}}-2{{y}_{M}}+21$.
Mặt cầu $({{S}_{2}})$ có tâm ${{I}_{2}}(0;-2;3)$, bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{6}$ ; mặt cầu $({{S}_{3}})$ có tâm ${{I}_{3}}(-1;0;4)$, bán kính ${{R}_{3}}=3$.
Tương tự ta có $M{{Y}^{2}}=MI_{2}^{2}-R_{2}^{2}={{(0-{{x}_{M}})}^{2}}+{{(-2-{{y}_{M}})}^{2}}+{{(3-{{z}_{M}})}^{2}}-6=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+4{{y}_{M}}-6{{\text{z}}_{M}}+7$
Và $M{{\text{Z}}^{2}}=MI_{3}^{2}-R_{3}^{2}={{(-1-{{x}_{M}})}^{2}}+{{(0-{{y}_{M}})}^{2}}+{{(4-{{z}_{M}})}^{2}}-9=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+2{{\text{x}}_{M}}-8{{\text{z}}_{M}}+8$.
Từ giả thiết ta có $M{{\text{X}}^{2}}=M{{Y}^{2}}=M{{\text{Z}}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}} \\
& M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+10{{\text{x}}_{M}}-2{{y}_{M}}+21=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+4{{y}_{M}}-6{{\text{z}}_{M}}+7 \\
& x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+4{{y}_{M}}-6{{\text{z}}_{M}}+7=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+2{{\text{x}}_{M}}-8{{\text{z}}_{M}}+8 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5{{\text{x}}_{M}}-3{{y}_{M}}+3{{\text{z}}_{M}}+7=0 \\
& 2{{\text{x}}_{M}}-4{{y}_{M}}-2{{\text{z}}_{M}}+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó tập hợp các điểm M là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):5x-3y+3\text{z}+7=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(5;-3;3)$ và mặt phẳng $(\beta ):2\text{x}-4y-2\text{z}+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-2;-1)$.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(9;8;-7)$.
A. $(1;8;-7)$
B. $(9;8;-7)$
C. $(1;-1;9)$
D. $(2;-1;8)$
Giả sử ba mặt cầu đã cho lần lượt là $({{S}_{1}}),({{S}_{2}}),({{S}_{3}})$.
Xét mặt cầu $({{S}_{1}})$ có tâm ${{I}_{1}}(-5;1;0)$ và bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{5}$. Ta có MX là tiếp tuyến kẻ từ M đến mặt $({{S}_{1}})$ nên $M{{\text{X}}^{2}}=MI_{1}^{2}-R_{1}^{2}={{(-5-{{x}_{M}})}^{2}}+{{(1-{{y}_{M}})}^{2}}+{{(0-{{z}_{M}})}^{2}}-5=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+10{{x}_{M}}-2{{y}_{M}}+21$.
Mặt cầu $({{S}_{2}})$ có tâm ${{I}_{2}}(0;-2;3)$, bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{6}$ ; mặt cầu $({{S}_{3}})$ có tâm ${{I}_{3}}(-1;0;4)$, bán kính ${{R}_{3}}=3$.
Tương tự ta có $M{{Y}^{2}}=MI_{2}^{2}-R_{2}^{2}={{(0-{{x}_{M}})}^{2}}+{{(-2-{{y}_{M}})}^{2}}+{{(3-{{z}_{M}})}^{2}}-6=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+4{{y}_{M}}-6{{\text{z}}_{M}}+7$
Và $M{{\text{Z}}^{2}}=MI_{3}^{2}-R_{3}^{2}={{(-1-{{x}_{M}})}^{2}}+{{(0-{{y}_{M}})}^{2}}+{{(4-{{z}_{M}})}^{2}}-9=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+2{{\text{x}}_{M}}-8{{\text{z}}_{M}}+8$.
Từ giả thiết ta có $M{{\text{X}}^{2}}=M{{Y}^{2}}=M{{\text{Z}}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}} \\
& M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+10{{\text{x}}_{M}}-2{{y}_{M}}+21=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+4{{y}_{M}}-6{{\text{z}}_{M}}+7 \\
& x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+4{{y}_{M}}-6{{\text{z}}_{M}}+7=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}+2{{\text{x}}_{M}}-8{{\text{z}}_{M}}+8 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5{{\text{x}}_{M}}-3{{y}_{M}}+3{{\text{z}}_{M}}+7=0 \\
& 2{{\text{x}}_{M}}-4{{y}_{M}}-2{{\text{z}}_{M}}+1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó tập hợp các điểm M là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):5x-3y+3\text{z}+7=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(5;-3;3)$ và mặt phẳng $(\beta ):2\text{x}-4y-2\text{z}+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-2;-1)$.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=(9;8;-7)$.
Đáp án B.