Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d:\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z-3}{3}$, ${{d}_{1}}:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+3}{-2}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z}{2}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng song song với $d$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm nào sau đây?
A. $\left( 3;-12;10 \right)$.
B. $\left( 4;1;-7 \right)$.
C. $\left( 4;10;17 \right)$.
D. $\left( 1;-6;6 \right)$.
A. $\left( 3;-12;10 \right)$.
B. $\left( 4;1;-7 \right)$.
C. $\left( 4;10;17 \right)$.
D. $\left( 1;-6;6 \right)$.
Lấy $A\left( 2{{t}_{1}};-1+{{t}_{1}};-3-2{{t}_{1}} \right)\in {{d}_{1}}$ và $B\left( -2+{{t}_{2}};3-3{{t}_{2}};2{{t}_{2}} \right)\in {{d}_{2}}$.
Ta chọn $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{AB}=\left( {{t}_{2}}-2{{t}_{1}}-2;-3{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+4;2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}+3 \right)$.
Vì $\Delta $ song song với $d$ nên
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{t}_{2}}-2{{t}_{1}}-2}{1}=\dfrac{-3{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+4}{2}=\dfrac{2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}+3}{3} \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=-1 \\
& {{t}_{2}}=1. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Suy ra $A\left( -2;-2;-1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;3 \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2+2t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right. $. Chọn $ t=6\Rightarrow M\left( 4;10;17 \right)$.
Ta chọn $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{AB}=\left( {{t}_{2}}-2{{t}_{1}}-2;-3{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+4;2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}+3 \right)$.
Vì $\Delta $ song song với $d$ nên
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{t}_{2}}-2{{t}_{1}}-2}{1}=\dfrac{-3{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+4}{2}=\dfrac{2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}+3}{3} \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=-1 \\
& {{t}_{2}}=1. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Suy ra $A\left( -2;-2;-1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;3 \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2+2t \\
& z=-1+3t \\
\end{aligned} \right. $. Chọn $ t=6\Rightarrow M\left( 4;10;17 \right)$.
Đáp án C.