Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$, ${{\Delta }_{1}}:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1},$ ${{\Delta }_{2}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{1}.$ Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $d$ đồng thời cắt ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ tại $H,K$ sao cho độ dài $HK$ nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( h;k;1 \right)$. Giá trị của $h-k$ bằng
A. 0
B. 4
C. 6
D. $-2$
A. 0
B. 4
C. 6
D. $-2$
HD: Gọi $H=\Delta \cap {{\Delta }_{1}}\Rightarrow H\in {{\Delta }_{1}}\Rightarrow H\left( 3+2a;a;1+a \right)$
Và $K=\Delta \cap {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\in {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\left( 1+b;2+2b;b \right)$
Suy ra $\overrightarrow{HK}=\left( -2-2a+b;2-a+2b;-1-a+b \right)$
Vì $\Delta \bot d\Rightarrow \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow -2-2a+b+2-a+2b+2+2a-2b=0\Leftrightarrow b=a-2$
Do đó $\overrightarrow{HK}=\left( -4-a;-2+a;-3 \right)\Rightarrow HK=\sqrt{{{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}+9}$
$=\sqrt{2{{a}^{2}}+4a+29}=\sqrt{2{{\left( a+1 \right)}^{2}}+27}\ge 3\sqrt{3}\xrightarrow{{}}H{{K}_{\min }}=3\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=-1\Rightarrow \overrightarrow{HK}=\left( -3;-3;-3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;1;1 \right).$
Và $K=\Delta \cap {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\in {{\Delta }_{2}}\Rightarrow K\left( 1+b;2+2b;b \right)$
Suy ra $\overrightarrow{HK}=\left( -2-2a+b;2-a+2b;-1-a+b \right)$
Vì $\Delta \bot d\Rightarrow \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow -2-2a+b+2-a+2b+2+2a-2b=0\Leftrightarrow b=a-2$
Do đó $\overrightarrow{HK}=\left( -4-a;-2+a;-3 \right)\Rightarrow HK=\sqrt{{{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}+9}$
$=\sqrt{2{{a}^{2}}+4a+29}=\sqrt{2{{\left( a+1 \right)}^{2}}+27}\ge 3\sqrt{3}\xrightarrow{{}}H{{K}_{\min }}=3\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=-1\Rightarrow \overrightarrow{HK}=\left( -3;-3;-3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;1;1 \right).$
Đáp án A.