Trong không gian $O x y z$ , cho ba đường thẳng...

The Knowledge · 14/2/22

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho ba đường thẳng

d : \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 2}

,

Δ_{1} : \frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1},

Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{1} .

Đường thẳng

Δ

vuông góc với

d

đồng thời cắt

Δ_{1}, Δ_{2}

tại

H, K

sao cho độ dài

H K

nhỏ nhất. Biết rằng

Δ

có một vectơ chỉ phương

\vec{u} = (h; k; 1)

. Giá trị của

h - k

bằng
A. 0
B. 4
C. 6
D.

- 2

HD: Gọi

H = Δ \cap Δ_{1} \Rightarrow H \in Δ_{1} \Rightarrow H (3 + 2 a; a; 1 + a)

Và

K = Δ \cap Δ_{2} \Rightarrow K \in Δ_{2} \Rightarrow K (1 + b; 2 + 2 b; b)

Suy ra

\vec{H K} = (- 2 - 2 a + b; 2 - a + 2 b; - 1 - a + b)

Vì

Δ ⊥ d \Rightarrow \vec{H K} . \vec{u_{d}} = 0 \Rightarrow - 2 - 2 a + b + 2 - a + 2 b + 2 + 2 a - 2 b = 0 \Leftrightarrow b = a - 2

Do đó

\vec{H K} = (- 4 - a; - 2 + a; - 3) \Rightarrow H K = \sqrt{{(a + 4)}^{2} + {(a - 2)}^{2} + 9}

= \sqrt{2 a^{2} + 4 a + 29} = \sqrt{2 {(a + 1)}^{2} + 27} \geq 3 \sqrt{3} \overset{}{\to} H K_{min} = 3 \sqrt{3}

Dấu bằng xảy ra khi

a = - 1 \Rightarrow \vec{H K} = (- 3; - 3; - 3) \Rightarrow \vec{u_{Δ}} = (1; 1; 1) .

Đáp án A.

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng...