Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$. Gọi $R,r$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Đặt $k=\dfrac{R}{r}$. Giá trị nhỏ nhất của k thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 3;4 \right)$.
B. $\left( 5;6 \right)$.
C. $\left( 1;2 \right)$.
D. $\left( 4;5 \right)$.
A. $\left( 3;4 \right)$.
B. $\left( 5;6 \right)$.
C. $\left( 1;2 \right)$.
D. $\left( 4;5 \right)$.
Gọi $\left\{ \begin{aligned}
& OA=a \\
& OB=b \\
& OC=c \\
\end{aligned} \right. $, ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp $ R=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.
Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\dfrac{3V}{{{S}_{tp}}}=\dfrac{3.\dfrac{abc}{6}}{\dfrac{ab+bc+ca}{2}+{{S}_{\Delta ABC}}}$
$\Rightarrow r=\dfrac{abc}{ab+bc+ca+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{R}{r}=\dfrac{ab+bc+ca+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}{2abc}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge \dfrac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+\sqrt{3{{\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)}^{4}}}}{2abc}\sqrt{3{{\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)}^{4}}}$.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3\Rightarrow \dfrac{R}{r}=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}$.
Vậy ${{k}_{\min }}=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}\in \left( 4;5 \right)$.
& OA=a \\
& OB=b \\
& OC=c \\
\end{aligned} \right. $, ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp $ R=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.
Bán kính đường tròn nội tiếp: $r=\dfrac{3V}{{{S}_{tp}}}=\dfrac{3.\dfrac{abc}{6}}{\dfrac{ab+bc+ca}{2}+{{S}_{\Delta ABC}}}$
$\Rightarrow r=\dfrac{abc}{ab+bc+ca+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{R}{r}=\dfrac{ab+bc+ca+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}{2abc}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge \dfrac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+\sqrt{3{{\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)}^{4}}}}{2abc}\sqrt{3{{\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)}^{4}}}$.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3\Rightarrow \dfrac{R}{r}=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}$.
Vậy ${{k}_{\min }}=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}\in \left( 4;5 \right)$.
Đáp án D.