Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left(...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

. Gọi

R, r

lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Đặt

k = \frac{R}{r}

. Giá trị nhỏ nhất của k thuộc khoảng nào sau đây?
A.

(3; 4)

.
B.

(5; 6)

.
C.

(1; 2)

.
D.

(4; 5)

.

Gọi

{\begin{aligned} O A = a \\ O B = b \\ O C = c \end{aligned}

, ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp

R = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

.
Bán kính đường tròn nội tiếp:

r = \frac{3 V}{S_{t p}} = \frac{3. \frac{a b c}{6}}{\frac{a b + b c + c a}{2} + S_{Δ A B C}}

\Rightarrow r = \frac{a b c}{a b + b c + c a + \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}}

\Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{a b + b c + c a + \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}}{2 a b c} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq \frac{\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} + \sqrt{3 {(\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}})}^{4}}}{2 a b c} \sqrt{3 {(\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}})}^{4}}

.
Dấu "=" xảy ra khi

a = b = c = 3 \Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2}

.
Vậy

k_{min} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} \in (4; 5)

.

Đáp án D.