Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( -8;-1;6 \right)$, $B\left( 1;2;3 \right)$, $C\left( 16;3;5 \right)$. Điểm $M$ di động trên mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=49$ sao cho tam giác $MAB$ có $2\sin \widehat{MAB}=\sin \widehat{MBA}$. Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $CM$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 7;8 \right)$.
B. $\left( 8;9 \right)$.
C. $\left( 6;7 \right)$.
D. $\left( 5;6 \right)$.
A. $\left( 7;8 \right)$.
B. $\left( 8;9 \right)$.
C. $\left( 6;7 \right)$.
D. $\left( 5;6 \right)$.
Ta có ${{I}_{1}}\left( 4;3;-3 \right)$, ${{R}_{1}}=7$ là tâm và bán kính của $\left( {{S}_{1}} \right)$.
Xét tam giác $MAB$ ta có $2\sin \widehat{MAB}=\sin \widehat{MBA}\Leftrightarrow 2\dfrac{MB}{2R}=\dfrac{MA}{2R}\Leftrightarrow MA=2MB$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ khi đó
$\begin{aligned}
& \sqrt{{{(x+8)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-6)}^{2}}}=2\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-6y-4z-15=0. \\
\end{aligned}$
Suy ra điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-6y-4z-15=0$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 4;3;2 \right)$, ${{R}_{2}}=2\sqrt{11}$.
Do đó $M\in \left( {{S}_{1}} \right)\cap \left( {{S}_{2}} \right)$.
Mặt khác hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $H$ nằm trên mặt phẳng $Oxy$ (vì hiệu của hai phương trình mặt cầu là $z=0$ ).
Suy ra $H$ là hình chiếu của ${{I}_{2}}\left( 4;3;2 \right)$ lên mặt phẳng $Oxy$ nên $H\left( 4;3;0 \right)$ và $MH=\sqrt{{{I}_{2}}{{M}^{2}}-{{I}_{2}}{{H}^{2}}}=2\sqrt{10}$.
Do đó $M$ nằm trên đường tròn tâm $H$ bán kính $r=2\sqrt{10}$.
Gọi ${C}'$ là hình chiếu của $C$ trên $Oxy$ suy ra ${C}'\left( 16;3;0 \right)$.
Ta có $H{C}'=12$ nên $C{{M}_{\min }}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( 12-2\sqrt{10} \right)}^{2}}}=7\text{,}564\in \left( 7;8 \right)$.
Xét tam giác $MAB$ ta có $2\sin \widehat{MAB}=\sin \widehat{MBA}\Leftrightarrow 2\dfrac{MB}{2R}=\dfrac{MA}{2R}\Leftrightarrow MA=2MB$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ khi đó
$\begin{aligned}
& \sqrt{{{(x+8)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-6)}^{2}}}=2\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-6y-4z-15=0. \\
\end{aligned}$
Suy ra điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-6y-4z-15=0$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 4;3;2 \right)$, ${{R}_{2}}=2\sqrt{11}$.
Do đó $M\in \left( {{S}_{1}} \right)\cap \left( {{S}_{2}} \right)$.
Mặt khác hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $H$ nằm trên mặt phẳng $Oxy$ (vì hiệu của hai phương trình mặt cầu là $z=0$ ).
Suy ra $H$ là hình chiếu của ${{I}_{2}}\left( 4;3;2 \right)$ lên mặt phẳng $Oxy$ nên $H\left( 4;3;0 \right)$ và $MH=\sqrt{{{I}_{2}}{{M}^{2}}-{{I}_{2}}{{H}^{2}}}=2\sqrt{10}$.
Gọi ${C}'$ là hình chiếu của $C$ trên $Oxy$ suy ra ${C}'\left( 16;3;0 \right)$.
Ta có $H{C}'=12$ nên $C{{M}_{\min }}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( 12-2\sqrt{10} \right)}^{2}}}=7\text{,}564\in \left( 7;8 \right)$.
Đáp án A.