Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;4;-1 \right)$...

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;3 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -2;-1;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 5;-5;-5 \right)=5\left( 1;-1;-1 \right)$, suy ra $\left( ABC \right):x-y-z+1=0$.
Ta thấy $\left( ABC \right)\bot \left( \beta \right)$, xét$d=\left( ABC \right)\cap \left( \beta \right)\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& x-y-z+1=0 \\
& x-y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left( ABC \right)$, khi đó $H\in d\Rightarrow H\left( -1+t;t;0 \right)$. $T=MA+MB+MC\ge HA+HB+HC$.$\begin{aligned}
& T\ge \sqrt{2{{t}^{2}}-14t+26}+\sqrt{2{{t}^{2}}-12t+24}+\sqrt{2{{t}^{2}}-8t+14} \\
& =\sqrt{{{\left( \sqrt{2}t-\dfrac{7}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{\dfrac{3}{2}} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{2}t \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}}+\sqrt{2{{\left( t-3 \right)}^{2}}+6} \\
& \ge \sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}-\dfrac{7}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{6} \right)}^{2}}}+\sqrt{6}=3\sqrt{2}+\sqrt{6} \\
\end{aligned}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $3\sqrt{2}+\sqrt{6}$ khi $t=3\Rightarrow M\left( 2;3;0 \right)$.