Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 2;-2;4 \right),B\left( -3;3;-1 \right),C\left( -1;-1;-1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+8=0.$ Xét điểm $M$ thay đổi thuộc $\left( P \right)$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}.$
A. 102
B. 35
C. 105
D. 30
A. 102
B. 35
C. 105
D. 30
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI} \right)+\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI} \right)-\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI} \right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\left( 1;0;4 \right)$
$\Leftrightarrow I\left( 1;0;4 \right).$
Khi đó, với mọi điểm $M\left( x;y;z \right)\in \left( P \right),$ ta luôn có
$T=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+2{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}-{{\overrightarrow{IC}}^{2}}$
$=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}.$
Ta tính được $2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}=30.$
Do đó, $T$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MI$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MI\bot \left( P \right).$
Lúc này, $IM=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1-0+2.4+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6.$
Vậy ${{T}_{\min }}={{2.6}^{2}}+30=102.$
$\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI} \right)+\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI} \right)-\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI} \right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\left( 1;0;4 \right)$
$\Leftrightarrow I\left( 1;0;4 \right).$
Khi đó, với mọi điểm $M\left( x;y;z \right)\in \left( P \right),$ ta luôn có
$T=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+2{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}-{{\overrightarrow{IC}}^{2}}$
$=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}.$
Ta tính được $2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}=30.$
Do đó, $T$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MI$ đạt GTNN $\Leftrightarrow MI\bot \left( P \right).$
Lúc này, $IM=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1-0+2.4+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6.$
Vậy ${{T}_{\min }}={{2.6}^{2}}+30=102.$
Đáp án A.