Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;-2;4 \right)...

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( 1;0;4 \right)$
Ta có $T=2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
Suy ra $T=2M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\underbrace{\left( 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)}_{\overrightarrow{0}}+\underbrace{2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}}_{\operatorname{co}nst}$
Do đó khi ${{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( P \right)$
Ta luôn có $IH\le IM$ nên $I{{M}_{\min }}=IH\Rightarrow M\equiv H$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-0}{-1}=\dfrac{z-4}{2} \\
& 2x-y+2z+8=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( -3;2;0 \right)$
Khi đó $\overrightarrow{MA}=\left( 5;-4;4 \right),\overrightarrow{MB}=\left( 0;1;-1 \right),\overrightarrow{MC}=\left( 2;-3;-1 \right)$
Do đó $T=102$.