Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;2 \right)$ và $D$ là điểm đối xứng của gốc tọa độ $O$ qua mặt phẳng $\left( ABC \right).$ Điểm $I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm $A;B;C;D.$ Tính giá trị của biểu thức $P=a+2b+3c.$
A. $P=0.$
B. $P=2.$
C. $P$
D. $P=1.$
A. $P=0.$
B. $P=2.$
C. $P$
D. $P=1.$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{2}=1\Leftrightarrow x+y+z-2=0$
Phương trình đường thẳng $OD$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ M=\left( P \right)\cap OD\Rightarrow M\left( t;t;t \right)$
Mặt khác $M\in \left( P \right)\Rightarrow 3t-2=0\Rightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow D\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3} \right)$
Dễ thấy, tâm $I$ thuộc $OD\Rightarrow I\left( u;u;u \right)$ mà $IA=ID\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{D}^{2}}$
Do đó ${{\left( u-2 \right)}^{2}}+2{{u}^{2}}=3{{\left( u-\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}\Rightarrow u=\dfrac{1}{3}.$ Vậy $I\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)\Rightarrow a+2b+3c=2.$
Phương trình đường thẳng $OD$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.. $ Gọi $ M=\left( P \right)\cap OD\Rightarrow M\left( t;t;t \right)$
Mặt khác $M\in \left( P \right)\Rightarrow 3t-2=0\Rightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow D\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3} \right)$
Dễ thấy, tâm $I$ thuộc $OD\Rightarrow I\left( u;u;u \right)$ mà $IA=ID\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{D}^{2}}$
Do đó ${{\left( u-2 \right)}^{2}}+2{{u}^{2}}=3{{\left( u-\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}\Rightarrow u=\dfrac{1}{3}.$ Vậy $I\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)\Rightarrow a+2b+3c=2.$
Đáp án B.