Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 10;0;0 \right),B\left( 0;10;0 \right),C\left( 0;0;10 \right)$. Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi sao cho $A,B,C$ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$ và khoảng cách từ $A,B,C$ đến $\left( P \right)$ lần lượt $10,11,12$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $\left( P \right)$ có giá trị lớn nhất bằng:
A. $\dfrac{33+\sqrt{365}}{3}$.
B. $\dfrac{33-7\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{33-\sqrt{365}}{3}$.
D. $\dfrac{33+7\sqrt{6}}{3}$.
Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$.
Do $A,B,C$ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên ta có:
$\left\{ \begin{matrix}
\left( 10a+d \right)\left( 10b+d \right)>0 \\
\left( 10b+d \right)\left( 10c+d \right)>0 \\
\left( 10c+d \right)\left( 10a+d \right)>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
10a+d>0 \\
10b+d>0 \\
10c+d>0 \\
\end{matrix} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{matrix}
10a+d<0 \\
10b+d<0 \\
10c+d<0 \\
\end{matrix} \right.$.
Giả sử $\left\{ \begin{matrix}
10a+d>0 \\
10b+d>0 \\
10c+d>0 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó theo giả thiết khoảng cách:
$\left\{ \begin{matrix}
d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{10a+d}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=10 \\
d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{10b+d}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=11 \\
d\left( C,\left( P \right) \right)=\dfrac{10c+d}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=12 \\
\end{matrix} \right.$.
Đặt $t=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ với $t>0$.
Suy ra: $\left\{ \begin{matrix}
10a=10x-d \\
10b=11x-d \\
10c=12x-d \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=x-\dfrac{d}{10} \\
b=\dfrac{11}{10}x-\dfrac{d}{10} \\
c=\dfrac{12x}{10}-\dfrac{d}{10} \\
\end{matrix} \right.$.
Mặt khác: ${{x}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( x-\dfrac{d}{10} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{11}{10}x-\dfrac{d}{10} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{12x}{10}-\dfrac{d}{10} \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{d}{x}=\dfrac{33\pm 7\sqrt{6}}{3}=d\left( O;\left( P \right) \right)$.
Do đó: $d{{\left( O;\left( P \right) \right)}_{\max }}=\dfrac{33+7\sqrt{6}}{3}$.
A. $\dfrac{33+\sqrt{365}}{3}$.
B. $\dfrac{33-7\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{33-\sqrt{365}}{3}$.
D. $\dfrac{33+7\sqrt{6}}{3}$.
Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$.
Do $A,B,C$ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên ta có:
$\left\{ \begin{matrix}
\left( 10a+d \right)\left( 10b+d \right)>0 \\
\left( 10b+d \right)\left( 10c+d \right)>0 \\
\left( 10c+d \right)\left( 10a+d \right)>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
10a+d>0 \\
10b+d>0 \\
10c+d>0 \\
\end{matrix} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{matrix}
10a+d<0 \\
10b+d<0 \\
10c+d<0 \\
\end{matrix} \right.$.
Giả sử $\left\{ \begin{matrix}
10a+d>0 \\
10b+d>0 \\
10c+d>0 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó theo giả thiết khoảng cách:
$\left\{ \begin{matrix}
d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{10a+d}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=10 \\
d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{10b+d}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=11 \\
d\left( C,\left( P \right) \right)=\dfrac{10c+d}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=12 \\
\end{matrix} \right.$.
Đặt $t=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ với $t>0$.
Suy ra: $\left\{ \begin{matrix}
10a=10x-d \\
10b=11x-d \\
10c=12x-d \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=x-\dfrac{d}{10} \\
b=\dfrac{11}{10}x-\dfrac{d}{10} \\
c=\dfrac{12x}{10}-\dfrac{d}{10} \\
\end{matrix} \right.$.
Mặt khác: ${{x}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( x-\dfrac{d}{10} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{11}{10}x-\dfrac{d}{10} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{12x}{10}-\dfrac{d}{10} \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{d}{x}=\dfrac{33\pm 7\sqrt{6}}{3}=d\left( O;\left( P \right) \right)$.
Do đó: $d{{\left( O;\left( P \right) \right)}_{\max }}=\dfrac{33+7\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án D.