Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;2;1 \right),B\left( 3;-1;1 \right)$ và $C\left( -1;-1;1 \right)$. Gọi $\left( {{S}_{1}} \right)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng 2; $\left( {{S}_{2}} \right)$ và $\left( {{S}_{3}} \right)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B,C$ và bán kính bằng 1. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right),\left( {{S}_{3}} \right)$ ?
A. 5.
B. 7.
C. 6.
D. 8.
A. 5.
B. 7.
C. 6.
D. 8.
Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: $ax+by+cz+d=0$ (đk: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ ). Khi đó ta có hệ điều kiện sau:
$\left\{ \begin{aligned}
& d\left( A;\left( P \right) \right)=2 \\
& d\left( B;\left( P \right) \right)=1 \\
& d\left( C;\left( P \right) \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\left| a+2b+c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2 \\
& \dfrac{\left| 3a-b+c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1 \\
& \dfrac{\left| -a-b+c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| a+2b+c+d \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| 3a-b+c+d \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| -a-b+c+d \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có: $\left| 3a-b+c+d \right|=\left| -a-b+c+d \right|$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3a-b+c+d=-a-b+c+d \\
& 3a-b+c+d=a+b-c-d \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a-b+c+d=0 \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $a=0$ thì ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| 2a+c+d \right|=2\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| 2a+c+d \right|=2\left| -b+c+d \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2b+c+d \right|=2\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left[ \begin{aligned}
& 4b-c-d=0 \\
& c+d=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c+d=0,b=0 \\
& c+d=4b,c=\pm 2\sqrt{2}b \\
\end{aligned} \right.$
Do đó có 3 mặt phẳng thỏa bài toán.
+ Với $a-b+c+d=0$ thì ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| 3b \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| 2a \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 3b \right|=4\left| a \right| \\
& \left| 2a \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| b \right|=\dfrac{4}{3}\left| a \right| \\
& \left| c \right|=\dfrac{\sqrt{11}}{3}\left| a \right| \\
\end{aligned} \right.$
Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
$\left\{ \begin{aligned}
& d\left( A;\left( P \right) \right)=2 \\
& d\left( B;\left( P \right) \right)=1 \\
& d\left( C;\left( P \right) \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\left| a+2b+c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2 \\
& \dfrac{\left| 3a-b+c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1 \\
& \dfrac{\left| -a-b+c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| a+2b+c+d \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| 3a-b+c+d \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| -a-b+c+d \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có: $\left| 3a-b+c+d \right|=\left| -a-b+c+d \right|$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3a-b+c+d=-a-b+c+d \\
& 3a-b+c+d=a+b-c-d \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a-b+c+d=0 \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $a=0$ thì ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| 2a+c+d \right|=2\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| 2a+c+d \right|=2\left| -b+c+d \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 2b+c+d \right|=2\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left[ \begin{aligned}
& 4b-c-d=0 \\
& c+d=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c+d=0,b=0 \\
& c+d=4b,c=\pm 2\sqrt{2}b \\
\end{aligned} \right.$
Do đó có 3 mặt phẳng thỏa bài toán.
+ Với $a-b+c+d=0$ thì ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| 3b \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
& \left| 2a \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 3b \right|=4\left| a \right| \\
& \left| 2a \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| b \right|=\dfrac{4}{3}\left| a \right| \\
& \left| c \right|=\dfrac{\sqrt{11}}{3}\left| a \right| \\
\end{aligned} \right.$
Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Đáp án B.