Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( -1;0;0 \right),B\left(...

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $IA-IB+IC=0\Rightarrow I(-1;1;1)$.
Ta có: $|MA-MB+MC|+\left|MB\right|=|MI+IA-MI-IB+MI+IC|+\left|MB\right|=\left|MI\right|+\left|MB\right|=MI+MB$
Xét thấy B và $I$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y+z+7=0$.
Gọi $B^{\prime }$ là điểm đối xứng của $B^{\prime }$ qua mặt phẳng.
Phương trình đường thẳng $\left(d\right)$ qua $B(0;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $u_d=(2;-2;1)$ là
$\left(d\right):\{\begin{array}{rl}& x=2t\\ & y=-1-2t\\ & z=t\end{array}$.
Gọi $H$ là giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)\Rightarrow H(-2;1;-1)$.
Ta có $H$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }\Rightarrow B^{\prime }(-4;3;-2)$.
Ta có $MI+MB=MI+M{B}^{\prime }\ge I{B}^{\prime }$.
Vậy ${(|MA-MB+MC|+\left|MB\right|)}_{min}=I{B}^{\prime }=\sqrt{22}$.