Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( -1;0;0 \right),B\left(...

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $IA-IB+IC=0\Rightarrow I\left( -1;1;1 \right)$.
Ta có: $\left| MA-MB+MC \right|+\left| MB \right|=\left| MI+IA-MI-IB+MI+IC \right|+\left| MB \right|=\left| MI \right|+\left| MB \right|=MI+MB$
Xét thấy B và $I$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y+z+7=0$.
Gọi ${B}'$ là điểm đối xứng của ${B}'$ qua mặt phẳng.
Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ qua $B\left( 0;-1;0 \right)$ và có vectơ chỉ phương ${{u}_{d}}=\left( 2;-2;1 \right)$ là
$\left( d \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=-1-2t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $H$ là giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)\Rightarrow H\left( -2;1;-1 \right)$.
Ta có $H$ là trung điểm của $B{B}'\Rightarrow {B}'\left( -4;3;-2 \right)$.
Ta có $MI+MB=MI+M{B}'\ge I{B}'$.
Vậy ${{\left( \left| MA-MB+MC \right|+\left| MB \right| \right)}_{\min }}=I{B}'=\sqrt{22}$.