Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;3 \right)$. Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$, N là điểm nằm trên OM sao cho $OM.ON=12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn nằm trên một mặt cầu cố định. Bán kính R của mặt cầu đó bằng
A. 4.
B. 6.
C. 5.
D. 7.
A. 4.
B. 6.
C. 5.
D. 7.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1\Rightarrow 6x+3y+2z-6=0$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Khi đó H cố định và có khoảng cách $OH=d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| -6 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{6}{7}$.
Từ N dựng mặt phẳng vuông góc với ON tại N, mặt phẳng này cắt OH tại K.
Hai tam giác vuông $\Delta OHM;\Delta ONK$ đồng dạng với nhau.
Suy ra: $OM.ON=OH.OK=12\to OK=\dfrac{12}{OH}=14$.
Nhận thấy đường thẳng OH cố định và OK không đổi nên suy ra K cố định. Vậy điểm N luôn nhìn OK một góc 90 không đổi, suy ra quỹ tích điểm N là mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính OK.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R=\dfrac{OK}{2}=7$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Khi đó H cố định và có khoảng cách $OH=d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| -6 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{6}{7}$.
Từ N dựng mặt phẳng vuông góc với ON tại N, mặt phẳng này cắt OH tại K.
Hai tam giác vuông $\Delta OHM;\Delta ONK$ đồng dạng với nhau.
Suy ra: $OM.ON=OH.OK=12\to OK=\dfrac{12}{OH}=14$.
Nhận thấy đường thẳng OH cố định và OK không đổi nên suy ra K cố định. Vậy điểm N luôn nhìn OK một góc 90 không đổi, suy ra quỹ tích điểm N là mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính OK.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R=\dfrac{OK}{2}=7$.
Đáp án D.