Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( 0;1;2 \right),\text{...

Cách 1: Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;-1),\overrightarrow{AC}=(-2;-1;-1)$ và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ nên tam giác ABC vuông tại A và trung điểm $I(0;-1;1)$ của cạnh BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do $MA=MB=MC$ nên M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nghĩa là M thuộc đường thẳng d đi qua I và vuông góc với $\left(ABC\right)$.
$\left(ABC\right)$ nhận ${\displaystyle \frac{1}{2}}[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;2;-4)$ làm véctơ pháp tuyến nên $d:\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=-1+2t\\ & z=-1-4t\end{array}$.
Ta có d và $\left(\alpha \right)$ cắt nhau tại $M(2;3;-7)$. Suy ra $2\text{a}+3b-4c=41$.
Cách 2: Ta có $MA=MB=MC\iff \{\begin{array}{rl}& a^2+{(b-1)}^2+{(c-2)}^2={(a-2)}^2+{(b+2)}^2+{(c-1)}^2\\ & a^2+{(b-1)}^2+{(c-2)}^2={(a+2)}^2+b^2+{(c-1)}^2\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& 2\text{a}-3b-c=2\\ & 2\text{a}+b+c=0\end{array}$. Do đó, ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{rl}& 2\text{a}-3b-c=2\\ & 2\text{a}+b+c=0\\ & 2\text{a}+2b+c-3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a=2\\ & b=3\\ & c=-7\end{array}$.