Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( 0;1;2 \right),\text{ B}\left( 2;-2;1 \right),\text{ C}\left( -2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $2\text{x}+2y+z-3=0$. Biết rằng tồn tại duy nhất điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ sao cho $MA=MB=MC$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $2\text{a}+b-c=0$
B. $2\text{a}+3b-4c=41$
C. $5\text{a}+b+c=0$
D. $a+3b+c=0$
A. $2\text{a}+b-c=0$
B. $2\text{a}+3b-4c=41$
C. $5\text{a}+b+c=0$
D. $a+3b+c=0$
Cách 1: Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -2;-1;-1 \right)$ và $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ nên tam giác ABC vuông tại A và trung điểm $I\left( 0;-1;1 \right)$ của cạnh BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do $MA=MB=MC$ nên M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nghĩa là M thuộc đường thẳng d đi qua I và vuông góc với $\left( ABC \right)$.
$\left( ABC \right)$ nhận $\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;2;-4 \right)$ làm véctơ pháp tuyến nên $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=-1+2t \\
& z=-1-4t \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có d và $\left( \alpha \right)$ cắt nhau tại $M\left( 2;3;-7 \right)$. Suy ra $2\text{a}+3b-4c=41$.
Cách 2: Ta có $MA=MB=MC\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\text{a}-3b-c=2 \\
& 2\text{a}+b+c=0 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó, ta có hệ phương trình $ \left\{ \begin{aligned}
& 2\text{a}-3b-c=2 \\
& 2\text{a}+b+c=0 \\
& 2\text{a}+2b+c-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=3 \\
& c=-7 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $MA=MB=MC$ nên M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nghĩa là M thuộc đường thẳng d đi qua I và vuông góc với $\left( ABC \right)$.
$\left( ABC \right)$ nhận $\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;2;-4 \right)$ làm véctơ pháp tuyến nên $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=-1+2t \\
& z=-1-4t \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có d và $\left( \alpha \right)$ cắt nhau tại $M\left( 2;3;-7 \right)$. Suy ra $2\text{a}+3b-4c=41$.
Cách 2: Ta có $MA=MB=MC\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\text{a}-3b-c=2 \\
& 2\text{a}+b+c=0 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó, ta có hệ phương trình $ \left\{ \begin{aligned}
& 2\text{a}-3b-c=2 \\
& 2\text{a}+b+c=0 \\
& 2\text{a}+2b+c-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=3 \\
& c=-7 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.