Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2) . Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b) . Tổng a+b là
A. -2.
B. 2.
C. 1.
D. -1
A. -2.
B. 2.
C. 1.
D. -1
Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.
Phương trình (OAC) là: 2y+z=0 .
Phương trình (OBC) là: x-z=0.
Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0.
Gọi $I({{a}^{'}};{{b}^{'}};{{c}^{'}})$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.
Do đó:
I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: $({{a}^{'}}-{{c}^{'}})>0$.
I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: $(2{{b}^{'}}+{{c}^{'}})>0$.
I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: $(-{{b}^{'}}+2{{c}^{'}})>0$.
I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: $(5{{a}^{'}}+3{{b}^{'}}+4{{c}^{'}}-15)<0$.
Suy ra:
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d(I,(OAB)) = d(I,(OAC))}\\ {d(I,(OAB)) = d(I,(OBC))}\\ {d(I,(OAB)) = d(I,(ABC))} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {2{b^\prime } + {c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }}}\\ {\dfrac{{\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {{a^\prime } - {c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 2 }}}\\ {\dfrac{{\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {5{a^\prime } + 3{b^\prime } + 4{c^\prime } - 15} \right|}}{{5\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right| = \left| {2{b^\prime } + {c^\prime }} \right|}\\ {\sqrt 2 \left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right| = \sqrt 5 \left| {{a^\prime } - {c^\prime }} \right|}\\ {\sqrt {10} \left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right| = \left| {5{a^\prime } + 3{b^\prime } + 4{c^\prime } - 15} \right|} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {b^\prime } + 2{c^\prime } = 2{b^\prime } + {c^\prime }}\\ {\sqrt 2 \left( { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right) = \sqrt 5 \left( {{a^\prime } - {c^\prime }} \right)}\\ {\sqrt {10} \left( { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right) = - \left( {5{a^\prime } + 3{b^\prime } + 4{c^\prime } - 15} \right)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^\prime } = \dfrac{3}{2}}\\ {{b^\prime } = \dfrac{{3\sqrt {10} - 9}}{2}}\\ {{c^\prime } = \dfrac{{9\sqrt {10} - 27}}{2}} \end{array}} \right. \end{array}$ Suy ra: $I\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{3 \sqrt{10}-9}{2} ; \dfrac{3(3 \sqrt{10}-9)}{2}\right), \overrightarrow{B I}=\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3 \sqrt{10}-13}{2} ; \dfrac{9 \sqrt{10}-29}{2}\right), \overrightarrow{B C}=(1 ;-3 ; 1)$. $[\overrightarrow{B I}, \overrightarrow{B C}]=\left(-50+15 \sqrt{10} ; \dfrac{-30+9 \sqrt{10}}{2} ; \dfrac{10-3 \sqrt{10}}{2}\right)$ cùng phương với $\vec{n}=(10 ; 3 ;-1) . \mid$ Suy ra $(B C I)$ có một VTPT là $\vec{n}=(10 ; 3 ;-1)=(10 ; a ; b)$. Vậy: $a+b=2$.
Cách khác:
Phương trình (OBC) là: x-z=0 .
Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .
Gọi (α) là mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện (OABC).
Suy ra (α) là mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng (OBC) và (ABC)
$(\alpha ):\dfrac{\left| x-z \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| 5\text{x}+3y+4\text{z}-15 \right|}{\sqrt{50}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3y-8\text{z}-15=0\text{ } (1) \\
& 10\text{x}+3y-z-15=0\text{ } (2) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình (1) bị loại do O và A phải nằm khác phía đối với (α). Vì vậy ta chọn phương trình (2). Do đó, (α) có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(10;3;-1)=(10;a;b)$.
Vậy: $a+b=2$..
Phương trình (OAC) là: 2y+z=0 .
Phương trình (OBC) là: x-z=0.
Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0.
Gọi $I({{a}^{'}};{{b}^{'}};{{c}^{'}})$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.
Do đó:
I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: $({{a}^{'}}-{{c}^{'}})>0$.
I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: $(2{{b}^{'}}+{{c}^{'}})>0$.
I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: $(-{{b}^{'}}+2{{c}^{'}})>0$.
I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: $(5{{a}^{'}}+3{{b}^{'}}+4{{c}^{'}}-15)<0$.
Suy ra:
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d(I,(OAB)) = d(I,(OAC))}\\ {d(I,(OAB)) = d(I,(OBC))}\\ {d(I,(OAB)) = d(I,(ABC))} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {2{b^\prime } + {c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }}}\\ {\dfrac{{\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {{a^\prime } - {c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 2 }}}\\ {\dfrac{{\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {5{a^\prime } + 3{b^\prime } + 4{c^\prime } - 15} \right|}}{{5\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right| = \left| {2{b^\prime } + {c^\prime }} \right|}\\ {\sqrt 2 \left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right| = \sqrt 5 \left| {{a^\prime } - {c^\prime }} \right|}\\ {\sqrt {10} \left| { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right| = \left| {5{a^\prime } + 3{b^\prime } + 4{c^\prime } - 15} \right|} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {b^\prime } + 2{c^\prime } = 2{b^\prime } + {c^\prime }}\\ {\sqrt 2 \left( { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right) = \sqrt 5 \left( {{a^\prime } - {c^\prime }} \right)}\\ {\sqrt {10} \left( { - {b^\prime } + 2{c^\prime }} \right) = - \left( {5{a^\prime } + 3{b^\prime } + 4{c^\prime } - 15} \right)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^\prime } = \dfrac{3}{2}}\\ {{b^\prime } = \dfrac{{3\sqrt {10} - 9}}{2}}\\ {{c^\prime } = \dfrac{{9\sqrt {10} - 27}}{2}} \end{array}} \right. \end{array}$ Suy ra: $I\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{3 \sqrt{10}-9}{2} ; \dfrac{3(3 \sqrt{10}-9)}{2}\right), \overrightarrow{B I}=\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3 \sqrt{10}-13}{2} ; \dfrac{9 \sqrt{10}-29}{2}\right), \overrightarrow{B C}=(1 ;-3 ; 1)$. $[\overrightarrow{B I}, \overrightarrow{B C}]=\left(-50+15 \sqrt{10} ; \dfrac{-30+9 \sqrt{10}}{2} ; \dfrac{10-3 \sqrt{10}}{2}\right)$ cùng phương với $\vec{n}=(10 ; 3 ;-1) . \mid$ Suy ra $(B C I)$ có một VTPT là $\vec{n}=(10 ; 3 ;-1)=(10 ; a ; b)$. Vậy: $a+b=2$.
Cách khác:
Phương trình (OBC) là: x-z=0 .
Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .
Gọi (α) là mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện (OABC).
Suy ra (α) là mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng (OBC) và (ABC)
$(\alpha ):\dfrac{\left| x-z \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| 5\text{x}+3y+4\text{z}-15 \right|}{\sqrt{50}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3y-8\text{z}-15=0\text{ } (1) \\
& 10\text{x}+3y-z-15=0\text{ } (2) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình (1) bị loại do O và A phải nằm khác phía đối với (α). Vì vậy ta chọn phương trình (2). Do đó, (α) có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(10;3;-1)=(10;a;b)$.
Vậy: $a+b=2$..
Đáp án B.