Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6)$. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.
A. $\dfrac{7}{2}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. $\dfrac{5}{2}$
A. $\dfrac{7}{2}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. $\dfrac{5}{2}$
Phương trình mặt phẳng (ABC): $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0$
Bài ra N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$
Phân tích $\overrightarrow{OM}=k.\overrightarrow{ON}$ với $k=\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{\dfrac{12}{ON}}{ON}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
$\Rightarrow M\left( \dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$ với $N(x;y;z)$
Mặt khác $M\in (ABC)\Rightarrow 6.\dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3.\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2.\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0$
$\Leftrightarrow 6x+3y+2z-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$
Vậy N luôn thuộc mặt cầu cố định $(S):{{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$
Mặt cầu này có tâm $I\left( 3;\dfrac{3}{2};1 \right)$ và bán kính $R=\dfrac{7}{2}$
Bài ra N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$
Phân tích $\overrightarrow{OM}=k.\overrightarrow{ON}$ với $k=\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{\dfrac{12}{ON}}{ON}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}$
$\Rightarrow M\left( \dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)$ với $N(x;y;z)$
Mặt khác $M\in (ABC)\Rightarrow 6.\dfrac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3.\dfrac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2.\dfrac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0$
$\Leftrightarrow 6x+3y+2z-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$
Vậy N luôn thuộc mặt cầu cố định $(S):{{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=\dfrac{49}{4}$
Mặt cầu này có tâm $I\left( 3;\dfrac{3}{2};1 \right)$ và bán kính $R=\dfrac{7}{2}$
Đáp án A.