Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C(-2;1;4)$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x-y+z+2=0$. Gọi $N(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $T=2N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. 1
B. $-\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. 2
A. 1
B. $-\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. 2
Ta có $T=2{{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA})}^{2}}+{{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB})}^{2}}+{{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC})}^{2}}$
$=4N{{I}^{2}}+2\overrightarrow{NI}(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$
Chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow $ Tọa độ điểm $I(0;1;2)$
Khi đó $T=4N{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}\Rightarrow $ T nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $N(t;1-t;2+t)\in (P)\Rightarrow t=-1\Rightarrow N(-1;2;1)$
Vậy $a=-1;b=2;c=1$ nên $a+b+c=2$
Phương pháp giải:
• Bước 1: Chèn một điểm cố định vào hệ thức đã cho.
• Bước 2: Tìm tọa độ điểm cố định theo hệ thức đã cho.
• Bước 3: Biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức theo điểm cố định đó.
Các phép toán véctơ cơ bản:
• Phép cộng véctơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$.
• Phép trừ véctơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{IA}$.
Trong các đường xiên từ một điểm đến một mặt phẳng, đường ngắn nhất là đường vuông góc từ điểm đó đến một mặt phẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đi qua điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+at \\
& y={{y}_{0}}+bt \\
& z={{z}_{0}}+ct \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R})$
$=4N{{I}^{2}}+2\overrightarrow{NI}(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$
Chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow $ Tọa độ điểm $I(0;1;2)$
Khi đó $T=4N{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}\Rightarrow $ T nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $N(t;1-t;2+t)\in (P)\Rightarrow t=-1\Rightarrow N(-1;2;1)$
Vậy $a=-1;b=2;c=1$ nên $a+b+c=2$
Note 2: Phương pháp chung
Bài toán cực trị trong hình học không gian Oxyz .Phương pháp giải:
• Bước 1: Chèn một điểm cố định vào hệ thức đã cho.
• Bước 2: Tìm tọa độ điểm cố định theo hệ thức đã cho.
• Bước 3: Biện luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức theo điểm cố định đó.
Các phép toán véctơ cơ bản:
• Phép cộng véctơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$.
• Phép trừ véctơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{IA}$.
Trong các đường xiên từ một điểm đến một mặt phẳng, đường ngắn nhất là đường vuông góc từ điểm đó đến một mặt phẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đi qua điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+at \\
& y={{y}_{0}}+bt \\
& z={{z}_{0}}+ct \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R})$
Đáp án D.