Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(-1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$. Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng $(ABC)$ và N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$. Biết N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Xác định tọa độ tâm mặt cầu đó.
A. $(-1;2;3)$
B. $(12;6;4)$
C. $(-6;3;2)$
D. $(6;-3;-2)$
A. $(-1;2;3)$
B. $(12;6;4)$
C. $(-6;3;2)$
D. $(6;-3;-2)$
HD: Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\dfrac{x}{-1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1\Leftrightarrow 6\text{x}-3y-2\text{z}+6=0$
Gọi $N(a;b;c)\Rightarrow ON=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\Rightarrow OM=\dfrac{12}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
Do đó $\overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\overrightarrow{ON}\Rightarrow M\left( \dfrac{12\text{a}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}};\dfrac{12b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}};\dfrac{12c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)$
Điểm $M\in (ABC)\Rightarrow \dfrac{72\text{a}-36b-24c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+6=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+12\text{a}-6b-4c=0$
Vậy M thuộc mặt cầu $(S):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=7$ có tâm $I(-6;3;2)$.
Gọi $N(a;b;c)\Rightarrow ON=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\Rightarrow OM=\dfrac{12}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
Do đó $\overrightarrow{OM}=\dfrac{12}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\overrightarrow{ON}\Rightarrow M\left( \dfrac{12\text{a}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}};\dfrac{12b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}};\dfrac{12c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)$
Điểm $M\in (ABC)\Rightarrow \dfrac{72\text{a}-36b-24c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+6=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+12\text{a}-6b-4c=0$
Vậy M thuộc mặt cầu $(S):{{(x+6)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=7$ có tâm $I(-6;3;2)$.
Đáp án B.