Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho $A\left( a ; b ; 1 \right)$, $ B\left( b ; 1 ;a \right) $, $C\left( 1; a ; b \right) $ (với $a , b \ge 0$ ), biết mặt phẳng $\left( ABC \right)$ cùng với các mặt phẳng tọa độ tạo thành tứ diện có thể tích bằng $36$. Tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua 4 điểm $A, B , C$, $ D\left( 1 ; 2; 3 \right)$.
A. $\sqrt{6}$.
B. $1$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
A. $\sqrt{6}$.
B. $1$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Ta có phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $x+y+z=a+b+1$
$\left( ABC \right)$ cắt các trục $Ox , Oy , Oz$ tại các điểm $M\left( a+b+1 ; 0 ; 0 \right) ,N\left( 0 ; a+b+1 ; 0 \right) , P\left( 0 ; 0 ; a+b+1 \right)$
Ta có thể tích khối tứ diện $OMNP$ là $V=\dfrac{{{\left( a+b+1 \right)}^{3}}}{6}=36$ ( do $a+b\ge 0$ ),
suy ra $a+b+1=6$ suy ra $a+b=5$ ( do $a+b\ge 0$ ) suy ra phương trình $\left( ABC \right)$ là $x+y+z-6=0$
Nhận xét: $D\in \left( ABC \right)$, mà theo giả thiết 4 điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ vì vậy $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn.
Mà tam giác $ABC$ đều suy ra tâm của đường tròn là $I\left( 2 ;2; 2 \right) , bk R=ID=\sqrt{2}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ luôn chứa đường tròn qua 4 điểm $A, B, C, D$ nên bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ nhỏ nhất bằng bán kính của đường tròn bằng $\sqrt{2}$.
$\left( ABC \right)$ cắt các trục $Ox , Oy , Oz$ tại các điểm $M\left( a+b+1 ; 0 ; 0 \right) ,N\left( 0 ; a+b+1 ; 0 \right) , P\left( 0 ; 0 ; a+b+1 \right)$
Ta có thể tích khối tứ diện $OMNP$ là $V=\dfrac{{{\left( a+b+1 \right)}^{3}}}{6}=36$ ( do $a+b\ge 0$ ),
suy ra $a+b+1=6$ suy ra $a+b=5$ ( do $a+b\ge 0$ ) suy ra phương trình $\left( ABC \right)$ là $x+y+z-6=0$
Nhận xét: $D\in \left( ABC \right)$, mà theo giả thiết 4 điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ vì vậy $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn.
Mà tam giác $ABC$ đều suy ra tâm của đường tròn là $I\left( 2 ;2; 2 \right) , bk R=ID=\sqrt{2}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ luôn chứa đường tròn qua 4 điểm $A, B, C, D$ nên bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ nhỏ nhất bằng bán kính của đường tròn bằng $\sqrt{2}$.
Đáp án C.