Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho $A\left( 4;-2;6 \right)$, $B\left( 2;4;2 \right)$ và điểm M thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ : $x+2y-3z-7=0$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất. Tọa độ của M là:
A. $\left( \dfrac{29}{13};\dfrac{58}{13};\dfrac{5}{13} \right)$.
B. $\left( 4;3;1 \right)$.
C. $\left( 1;3;4 \right)$.
D. $\left( \dfrac{37}{3};\dfrac{-56}{3};\dfrac{68}{3} \right)$.
Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( 3;1;4 \right)$. Gọi H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right).\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)=M{{I}^{2}}+\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)-I{{A}^{2}}=M{{I}^{2}}-I{{A}^{2}}$.
Do IA không đổi nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI=IH\Leftrightarrow M\equiv H$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó $\Delta $ nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left( 1;2;-3 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Do đó $\Delta $ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=1+2t \\
& z=4-3t \\
\end{aligned} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Do $H\in \Delta \Rightarrow H\left( 3+t;1+2t;4-3t \right)$
và $H\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \left( 3+t \right)+\left( 1+2t \right)-3\left( 4-3t \right)-7=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 4;3;1 \right)$.
A. $\left( \dfrac{29}{13};\dfrac{58}{13};\dfrac{5}{13} \right)$.
B. $\left( 4;3;1 \right)$.
C. $\left( 1;3;4 \right)$.
D. $\left( \dfrac{37}{3};\dfrac{-56}{3};\dfrac{68}{3} \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right).\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)=M{{I}^{2}}+\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)-I{{A}^{2}}=M{{I}^{2}}-I{{A}^{2}}$.
Do IA không đổi nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI=IH\Leftrightarrow M\equiv H$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó $\Delta $ nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left( 1;2;-3 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Do đó $\Delta $ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=1+2t \\
& z=4-3t \\
\end{aligned} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Do $H\in \Delta \Rightarrow H\left( 3+t;1+2t;4-3t \right)$
và $H\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \left( 3+t \right)+\left( 1+2t \right)-3\left( 4-3t \right)-7=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 4;3;1 \right)$.
Đáp án B.