Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( -1;-2;0 \right)$, $B\left( -5;-3;1 \right)$, $C\left( -2;-3;4 \right)$. Trong các mặt cầu đi qua ba điểm $A,B,C$ mặt cầu có diện tích nhỏ nhất có bán kính $R$ bằng
A. $R=\sqrt{6}$.
B. $R=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$.
C. $R=3$.
D. $R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ta tính được $\overrightarrow{AB}=\left( -4;-1;1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( -1;-1;4 \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( 3;0;3 \right)$ nên $AB=AC=BC=3\sqrt{2}$. Suy ra $ABC$ là tam giác đều.
Gọi $I$ là tâm của mặt cầu đi qua 3 điểm $A,B,C$ và $G$ là tâm của tam giác đều $ABC$. Khi đó $I$ thuộc đường thẳng vuông góc với $\left( ABC \right)$ tại $G$ và bán kính của mặt cầu đi qua 3 điểm $A,B,C$ là độ dài đoạn $IA$ mà $IA\ge GA$.
Mặt cầu đi qua 3 điểm $A,B,C$ có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính của nó nhỏ nhất là $R=GA=AB.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{6}$.
A. $R=\sqrt{6}$.
B. $R=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$.
C. $R=3$.
D. $R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ta tính được $\overrightarrow{AB}=\left( -4;-1;1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( -1;-1;4 \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( 3;0;3 \right)$ nên $AB=AC=BC=3\sqrt{2}$. Suy ra $ABC$ là tam giác đều.
Gọi $I$ là tâm của mặt cầu đi qua 3 điểm $A,B,C$ và $G$ là tâm của tam giác đều $ABC$. Khi đó $I$ thuộc đường thẳng vuông góc với $\left( ABC \right)$ tại $G$ và bán kính của mặt cầu đi qua 3 điểm $A,B,C$ là độ dài đoạn $IA$ mà $IA\ge GA$.
Mặt cầu đi qua 3 điểm $A,B,C$ có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính của nó nhỏ nhất là $R=GA=AB.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{6}$.
Đáp án A.