Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left( 1;1;3 \right),B\left( -1;3;2 \right),C\left( -1;2;3 \right).$ Phương trình mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là:
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\sqrt{3}$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\dfrac{5}{3}$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\sqrt{3}$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\dfrac{5}{3}$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;2;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -2;1;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{ABC}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;2;2 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là:
$1.\left( x-1 \right)+2.\left( y-1 \right)+2\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-9=0$
$\Rightarrow $ Mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với $\left( ABC \right)$ có bán kính $R=d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| -9 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3.$
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -2;2;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -2;1;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{ABC}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;2;2 \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là:
$1.\left( x-1 \right)+2.\left( y-1 \right)+2\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-9=0$
$\Rightarrow $ Mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với $\left( ABC \right)$ có bán kính $R=d\left( O;\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| -9 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3.$
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9.$
Đáp án D.