Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho $A\left( 1;-1;2 \right),B\left( -2;0;3 \right),C\left( 0;1;-2 \right)$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=12a+12b+c$ có giá trị là:
A. $T=3.$
B. $T=-3.$
C. $T=1.$
D. $T=-1.$
A. $T=3.$
B. $T=-3.$
C. $T=1.$
D. $T=-1.$
Do $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên $c=0\Rightarrow M\left( a;b;0 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{MA}=\left( 1-a;-1-b;2 \right);\overrightarrow{MB}=\left( -2-a;-b;3 \right);\overrightarrow{MC}=\left( -a;1-b;-2 \right)$.
$S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=6{{a}^{2}}+6{{b}^{2}}+2a-b-23=6{{\left( a+\dfrac{1}{6} \right)}^{2}}+6{{\left( b-\dfrac{1}{12} \right)}^{2}}-\dfrac{557}{24}$
$\Rightarrow S\ge -\dfrac{557}{24}$. Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất $-\dfrac{557}{24}$ khi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{6} \\
& b=\dfrac{1}{12} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow T=12a+12b+c=-1$.
Ta có: $\overrightarrow{MA}=\left( 1-a;-1-b;2 \right);\overrightarrow{MB}=\left( -2-a;-b;3 \right);\overrightarrow{MC}=\left( -a;1-b;-2 \right)$.
$S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=6{{a}^{2}}+6{{b}^{2}}+2a-b-23=6{{\left( a+\dfrac{1}{6} \right)}^{2}}+6{{\left( b-\dfrac{1}{12} \right)}^{2}}-\dfrac{557}{24}$
$\Rightarrow S\ge -\dfrac{557}{24}$. Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất $-\dfrac{557}{24}$ khi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{6} \\
& b=\dfrac{1}{12} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow T=12a+12b+c=-1$.
Đáp án D.