Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;1;0 \right),C\left( 0;0;1 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa cạnh $BC$ và vuông góc với $\left( ABC \right)$. $\left( C \right)$ là đường tròn đường kính $BC$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right).$ Gọi $S$ là một điểm bất kì nằm trên $\left( C \right)$ khác $B,C.$ Khi đó khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC$ đến mặt phẳng $\left( Q \right):2x-3y+z+1=0$ là
A. $\dfrac{1}{2\sqrt{14}}$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{14}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{14}}$
D. $\dfrac{3}{2\sqrt{14}}$
A. $\dfrac{1}{2\sqrt{14}}$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{14}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{14}}$
D. $\dfrac{3}{2\sqrt{14}}$
Ta có phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $x+y+z=1$ và 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;1;1 \right).$
$\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;1 \right).$ Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{BC} \right]=\left( 2;-1;-1 \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $2x-y-z+1=0.$
Gọi $H$ là trung điểm $BC,I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC,$ ta có $H\left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ và $IH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right).$ Như vậy phương trình đường thẳng $IH$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=\dfrac{1}{2}-t \\
& z=\dfrac{1}{2}-t \\
\end{aligned} \right..$
Gọi $I\left( 2t;\dfrac{1}{2}-t;\dfrac{1}{2}-t \right)\in IH,$ ta có
$IA=IB\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow I\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right).$
Khi đó khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ bằng $d\left( I,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\dfrac{1}{3}-3.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}.$
$\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;1 \right).$ Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{BC} \right]=\left( 2;-1;-1 \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $2x-y-z+1=0.$
Gọi $H$ là trung điểm $BC,I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC,$ ta có $H\left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ và $IH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right).$ Như vậy phương trình đường thẳng $IH$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=\dfrac{1}{2}-t \\
& z=\dfrac{1}{2}-t \\
\end{aligned} \right..$
Gọi $I\left( 2t;\dfrac{1}{2}-t;\dfrac{1}{2}-t \right)\in IH,$ ta có
$IA=IB\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( t+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow I\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right).$
Khi đó khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ bằng $d\left( I,\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\dfrac{1}{3}-3.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}.$
Đáp án C.