Trong không gian Oxyz, cho $A\left( 0;1;2 \right),B\left( 0;1;0...

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ và $G(1;1;1)$
Khi đó ta có: $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$
$={(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})}^2+{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})}^2+{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})}^2$
$=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2+2\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2$
$=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$
Do các điểm A, B, C, G cố định nên $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$ không đổi.
Suy ra $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Do đó M là hình chiếu vuông góc của G lên $\left(Q\right)\Rightarrow MG=d(G;\left(Q\right))={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\Rightarrow 3M{G}^2=4$
Lại có: $G{A}^2=2;G{B}^2=2;G{C}^2=4$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ bằng 12.