Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho $A\left( 0;1;2 \right),B\left( 0;1;0 \right),C\left( 3;1;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x+y+z-5=0$. Xét điểm M thay đổi thuộc $\left( Q \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ bằng
A. 12
B. 0
C. 8
D. 10
A. 12
B. 0
C. 8
D. 10
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ và $G\left( 1;1;1 \right)$
Khi đó ta có: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}$
$=3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+{{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)=3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+{{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}$
$=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$
Do các điểm A, B, C, G cố định nên $G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$ không đổi.
Suy ra $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Do đó M là hình chiếu vuông góc của G lên $\left( Q \right)\Rightarrow MG=d\left( G;\left( Q \right) \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3M{{G}^{2}}=4$
Lại có: $G{{A}^{2}}=2;G{{B}^{2}}=2;G{{C}^{2}}=4$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ bằng 12.
Khi đó ta có: $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}$
$=3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+{{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}+2\overrightarrow{MG}\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)=3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+{{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}$
$=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$
Do các điểm A, B, C, G cố định nên $G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$ không đổi.
Suy ra $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Do đó M là hình chiếu vuông góc của G lên $\left( Q \right)\Rightarrow MG=d\left( G;\left( Q \right) \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3M{{G}^{2}}=4$
Lại có: $G{{A}^{2}}=2;G{{B}^{2}}=2;G{{C}^{2}}=4$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ bằng 12.
Đáp án A.