Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ , cho $A\left( 0 ; 1 ; 1 \right)$, $B\left( 2 ; -1 ; 1 \right)$, $C\left( 4 ; 1 ; 1 \right)$ và $\left( P \right) : x+ y+z-6 = 0$. Xét điểm $M\left( a ; b ; c \right)$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $ 2a+4b+c$ bằng:
A. $6$.
B. $12$.
C. $7$.
D. $5$.
A. $6$.
B. $12$.
C. $7$.
D. $5$.
Ta gọi điểm $I\left( x ; y ; z \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$.
$=4 \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$.
Suy ra, $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|$.
Ta chọn điểm $I\left( x ; y ; z \right)$ sao cho $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{O} $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -x+2\left( 2-x \right)+4-x=0 \\
& 1-y+2\left( -1-y \right)+1-y = 0 \\
& 1-z+2\left( 1-z \right)+1-z = 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y= 0 \\
& z = 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$.
Vậy, với điểm $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$ ta có $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|$. Do $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)\notin \left( P \right)$ mà $M\left( a ; b ; c \right)\in \left( P \right)$ nên $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $\left| 4\overrightarrow{MI} \right|$ có độ dài nhỏ nhất.
Vậy, để thỏa mãn điều kiện đó khi $M\left( a ; b ; c \right)$ là hình chiếu của $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$ lên $\left( P \right)$.
Ta gọi $d$ là đường thẳng qua điểm $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
Ta có phương trình của $d : \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-1}{1}$.
Do $M= d \cap \left( P \right)$ nên tọa độ điểm $M\left( a ; b ; c \right)$ thỏa hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& a-b = 2 \\
& a -c = 1 \\
& a+b+c = 6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a = 3 \\
& b = 1 \\
& c = 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $ 2a+4b+c=2.3+4.1+2=12$.
Ta có: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}= \overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$.
$=4 \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$.
Suy ra, $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|$.
Ta chọn điểm $I\left( x ; y ; z \right)$ sao cho $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{O} $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -x+2\left( 2-x \right)+4-x=0 \\
& 1-y+2\left( -1-y \right)+1-y = 0 \\
& 1-z+2\left( 1-z \right)+1-z = 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y= 0 \\
& z = 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$.
Vậy, với điểm $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$ ta có $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|$. Do $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)\notin \left( P \right)$ mà $M\left( a ; b ; c \right)\in \left( P \right)$ nên $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $\left| 4\overrightarrow{MI} \right|$ có độ dài nhỏ nhất.
Vậy, để thỏa mãn điều kiện đó khi $M\left( a ; b ; c \right)$ là hình chiếu của $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$ lên $\left( P \right)$.
Ta gọi $d$ là đường thẳng qua điểm $I\left( 2 ; 0 ; 1 \right)$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
Ta có phương trình của $d : \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-1}{1}$.
Do $M= d \cap \left( P \right)$ nên tọa độ điểm $M\left( a ; b ; c \right)$ thỏa hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& a-b = 2 \\
& a -c = 1 \\
& a+b+c = 6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a = 3 \\
& b = 1 \\
& c = 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $ 2a+4b+c=2.3+4.1+2=12$.
Đáp án B.