Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho 3 điểm $A\left( 9 ; 0 ; 0 \right)$, $B\left( 0 ; 6 ; 6 \right)$, $C\left( 0 ; 0 ; -16 \right)$ và điểm $M$ di động trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $S=\left| \left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|-3MC \right|$.
A. $39$.
B. $36$.
C. $30$.
D. s
A. $39$.
B. $36$.
C. $30$.
D. s
Gọi $I(a ; b ; c)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}$.
Ta có: $\overrightarrow{L A}=(9-a ;-b ;-c), \overrightarrow{I B}=(-a ; 6-b ; 6-c)$.
Ta có: $|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}|=|\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A}+2(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B})|=|3 \overrightarrow{M I}+(\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B})|=3 M$.
Suy ra $S=|3 M I-3 M C|=3|M I-M C|$.
Cao độ của hai điểm $I, C$ trái dấu nên hai điểm $I, C$ nằm về hai phía so với mặt phẳng $(O x y)$.
Gọi $I^{\prime}$ là điểm đối xứng của $I$ qua mặt phẳng $(O x y)$. Suy ra $I^{\prime}(3 ; 4 ;-4)$.
Với mọi điểm $M \in(O x y)$ ta luôn có: $S=3|M I-M C|=3\left|M I^{\prime}-M C\right| \leq 3 I^{\prime} C$.
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $I^{\prime}, C, M$ thẳng hàng.
Suy ra $\max S=3 I^{\prime} C=3 \sqrt{(0-3)^{2}+(0-4)^{2}+(-16+4)^{2}}=39$.
Ta có: $\overrightarrow{L A}=(9-a ;-b ;-c), \overrightarrow{I B}=(-a ; 6-b ; 6-c)$.
Ta có: $|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}|=|\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A}+2(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B})|=|3 \overrightarrow{M I}+(\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B})|=3 M$.
Suy ra $S=|3 M I-3 M C|=3|M I-M C|$.
Cao độ của hai điểm $I, C$ trái dấu nên hai điểm $I, C$ nằm về hai phía so với mặt phẳng $(O x y)$.
Với mọi điểm $M \in(O x y)$ ta luôn có: $S=3|M I-M C|=3\left|M I^{\prime}-M C\right| \leq 3 I^{\prime} C$.
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $I^{\prime}, C, M$ thẳng hàng.
Suy ra $\max S=3 I^{\prime} C=3 \sqrt{(0-3)^{2}+(0-4)^{2}+(-16+4)^{2}}=39$.
Đáp án A.