Trong không gian $Oxyz$ cho 3 điểm $A\left( 9 ; 0 ; 0 \right)$...

Gọi $I\left( a ; b ; c \right)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 9-a ; -b ; -c \right)$, $\overrightarrow{IB}=\left( -a ; 6-b ; 6-c \right)$.
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
9-a=2a \\
-b=-12+2b \\
-c=-12+2c \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=3 \\
b=4 \\
c=4 \\
\end{matrix} \right. $. Suy ra $ I\left( 3 ; 4 ; 4 \right)$.
Ta có: $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right) \right|=\left| 3\overrightarrow{MI}+\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right) \right|=3MI$.
Suy ra $S=\left| 3MI-3MC \right|=3\left| MI-MC \right|$.
Cao độ của hai điểm $I, C$ trái dấu nên hai điểm $I, C$ nằm về hai phía so với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.

Gọi ${I}'$ là điểm đối xứng của $I$ qua mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Suy ra ${I}'\left( 3 ; 4 ; -4 \right)$.
Với mọi điểm $M\in \left( Oxy \right)$ ta luôn có: $S=3\left| MI-MC \right|=3\left| M{I}'-MC \right|\le 3{I}'C$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $I', C, M$ thẳng hàng.
Suy ra $\max S=3{I}'C=3\sqrt{{{\left( 0-3 \right)}^{2}}+{{\left( 0-4 \right)}^{2}}+{{\left( -16+4 \right)}^{2}}}=39$.