Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho $3$ điểm $A\left( -2;1;0 \right),B\left( 4;4;-3 \right),C\left( 2;3;-2 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho $A,B,C$ nằm ở cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ lần lượt là khoảng cách từ $A,B,C$ đến $\left( P \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $T={{d}_{1}}+2{{d}_{2}}+3{{d}_{3}}$.
A. ${{T}_{\text{max}}}=2\sqrt{21}$.
B. ${{T}_{\text{max}}}=\sqrt{14}$.
C. ${{T}_{\text{max}}}=3\sqrt{21}$.
D. ${{T}_{\text{max}}}=6\sqrt{14}$.
A. ${{T}_{\text{max}}}=2\sqrt{21}$.
B. ${{T}_{\text{max}}}=\sqrt{14}$.
C. ${{T}_{\text{max}}}=3\sqrt{21}$.
D. ${{T}_{\text{max}}}=6\sqrt{14}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 6;3;-3 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( 4;2;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} \\
& AB=3\sqrt{6};AC=2\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A,B,C$ thẳng hàng và $C$ nằm giữa $AB$ ; $AC=\dfrac{2}{3}AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow AM=MC=CB=\sqrt{6}$.
Gọi ${{d}_{4}}=d\left( M;\left( P \right) \right)$. Ta có hình vẽ
Dựa vào hình vẽ, dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{d}_{2}}+{{d}_{4}}=2{{d}_{3}} \\
& {{d}_{1}}+{{d}_{3}}=2{{d}_{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{d}_{4}}=2{{d}_{3}}-{{d}_{2}} \\
& {{d}_{1}}+{{d}_{3}}=2\left( 2{{d}_{3}}-{{d}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{d}_{1}}+2{{d}_{2}}=3{{d}_{3}}$.
Theo đề bài $T={{d}_{1}}+2{{d}_{2}}+3{{d}_{3}}=6{{d}_{3}}$. Suy ra $T \text{max}\Leftrightarrow {{d}_{3}} \text{max}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $\left( P \right)$.
Tìm được hình chiếu của $C$ lên $d$ là $K\left( 1;1;1 \right)$.
Trong tam giác vuông $HCK$ ta có: ${{d}_{3}}=CH=\sqrt{C{{K}^{2}}-H{{K}^{2}}}=\sqrt{14-H{{K}^{2}}}$ $\Rightarrow CH\le \sqrt{14}$
Ta có ${{d}_{3}}$ max khi và chỉ khi $HK$ min.
Suy ra $T=6{{d}_{3}}\le 6\sqrt{14}$, dấu bằng xảy ra khi $H\equiv K$.
Vậy giá trị lớn nhất của $T$ bằng $6\sqrt{14}$.
& \overrightarrow{AB}=\left( 6;3;-3 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( 4;2;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} \\
& AB=3\sqrt{6};AC=2\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A,B,C$ thẳng hàng và $C$ nằm giữa $AB$ ; $AC=\dfrac{2}{3}AB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow AM=MC=CB=\sqrt{6}$.
Gọi ${{d}_{4}}=d\left( M;\left( P \right) \right)$. Ta có hình vẽ
$\left\{ \begin{aligned}
& {{d}_{2}}+{{d}_{4}}=2{{d}_{3}} \\
& {{d}_{1}}+{{d}_{3}}=2{{d}_{4}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{d}_{4}}=2{{d}_{3}}-{{d}_{2}} \\
& {{d}_{1}}+{{d}_{3}}=2\left( 2{{d}_{3}}-{{d}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{d}_{1}}+2{{d}_{2}}=3{{d}_{3}}$.
Theo đề bài $T={{d}_{1}}+2{{d}_{2}}+3{{d}_{3}}=6{{d}_{3}}$. Suy ra $T \text{max}\Leftrightarrow {{d}_{3}} \text{max}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $\left( P \right)$.
Tìm được hình chiếu của $C$ lên $d$ là $K\left( 1;1;1 \right)$.
Ta có ${{d}_{3}}$ max khi và chỉ khi $HK$ min.
Suy ra $T=6{{d}_{3}}\le 6\sqrt{14}$, dấu bằng xảy ra khi $H\equiv K$.
Vậy giá trị lớn nhất của $T$ bằng $6\sqrt{14}$.
Đáp án D.