Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;0;-2 \right)$...

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 0;1;3 \right); \overrightarrow{AC}=\left( -1;-1;4 \right)$ ; $\left[ \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right]=\left( 7;-3;1 \right)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A,B,C$ cùng phương với $\left[ \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right]$. Suy ra một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n} \left( 7;-3;1 \right)$.
Vậy phương của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;0;-2 \right)$ và có vtpt $\overrightarrow{n} \left( 7;-3;1 \right)$ có dạng:
$$ $7\left( x-1 \right)-3(y-0)+1(z+2)=0\Leftrightarrow 7x-3y+z-5=0$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-3 \\
& c=1 \\
& d=-5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=35$.