Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 1;0;0 \right), B\left( 0;-2;3 \right), C\left( 1;1;1 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $A, B$ sao cho khoảng cách từ $C$ đến $\left( P \right)$ bằng $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục $Oy$.
A. $M\left( 0;-1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;\dfrac{23}{37};0 \right)$.
B. $M\left( 0;1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;-\dfrac{23}{37};0 \right)$.
C. $M\left( 0;-1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;-\dfrac{23}{37};0 \right)$.
D. $M\left( 0;1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;\dfrac{23}{37};0 \right)$.
A. $M\left( 0;-1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;\dfrac{23}{37};0 \right)$.
B. $M\left( 0;1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;-\dfrac{23}{37};0 \right)$.
C. $M\left( 0;-1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;-\dfrac{23}{37};0 \right)$.
D. $M\left( 0;1;0 \right)$ hoặc $M\left( 0;\dfrac{23}{37};0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x+by+cz+d=0 $
Do $A\in \left( P \right)\Rightarrow 1+d=0\Leftrightarrow d=-1$
$B\in \left( P \right)\Rightarrow -2b+3c-1=0\Leftrightarrow c=\dfrac{2b+1}{3}$
$d\left( C,\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+b+c+d \right|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \sqrt{3}\left| b+c \right|=2\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 3\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc \right)=4\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-6bc+4=0$
$\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{\left( \dfrac{2b+1}{3} \right)}^{2}}-6b.\dfrac{2b+1}{3}+4=0$
$\Leftrightarrow 23{{b}^{2}}+14b-37=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=1 \\
& b=-\dfrac{37}{23} \\
\end{aligned} \right.$
Với $b=1\Rightarrow c=1$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $x+y+z-1=0$. Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục $Oy$ là ${{M}_{1}}\left( 0;1;0 \right)$.
Với $b=-\dfrac{37}{23}\Rightarrow c=-\dfrac{17}{23}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $x-\dfrac{37}{23}y-\dfrac{17}{23}z-1=0$ $\Leftrightarrow 23x-37y-17z-23=0$. Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục $Oy$ là ${{M}_{1}}\left( 0;-\dfrac{23}{37};0 \right)$.
Do $A\in \left( P \right)\Rightarrow 1+d=0\Leftrightarrow d=-1$
$B\in \left( P \right)\Rightarrow -2b+3c-1=0\Leftrightarrow c=\dfrac{2b+1}{3}$
$d\left( C,\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+b+c+d \right|}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \sqrt{3}\left| b+c \right|=2\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 3\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc \right)=4\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-6bc+4=0$
$\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{\left( \dfrac{2b+1}{3} \right)}^{2}}-6b.\dfrac{2b+1}{3}+4=0$
$\Leftrightarrow 23{{b}^{2}}+14b-37=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=1 \\
& b=-\dfrac{37}{23} \\
\end{aligned} \right.$
Với $b=1\Rightarrow c=1$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $x+y+z-1=0$. Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục $Oy$ là ${{M}_{1}}\left( 0;1;0 \right)$.
Với $b=-\dfrac{37}{23}\Rightarrow c=-\dfrac{17}{23}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $x-\dfrac{37}{23}y-\dfrac{17}{23}z-1=0$ $\Leftrightarrow 23x-37y-17z-23=0$. Tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục $Oy$ là ${{M}_{1}}\left( 0;-\dfrac{23}{37};0 \right)$.
Đáp án B.