Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$. Cho 2 điểm $A\left( 1;0;1 \right); B\left( 1;3;5 \right)$ xét đường thẳng $d$ thay đổi cách $A$ một khoảng bằng $2$ ; cách $B$ một khoảng bằng $1$. Gọi $M;N$ là hình chiếu vuông góc của $A;B$ lên $d$ tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $MN$ là:
A. $2\sqrt{6}$.
B. $8\sqrt{5}$.
C. $4\sqrt{5}$.
D. $8\sqrt{6}$.
Gọi ${{S}_{1}}$ mặt cầu tâm $A$ bán kính bằng ${{R}_{1}}=2$.
Gọi ${{S}_{2}}$ mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng ${{R}_{2}}=1$.
Ta có $AB=5>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=3$. Gọi $P;Q$ lần lượt là tâm vị tự trong và ngoài của 2 mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right);\left( {{S}_{2}} \right)$. Qua $P$ và $Q$ vẽ các tiếp tuyến $\text{EF}$ và $HK$.
Suy ra $M{{N}_{\min }}\text{=EF; }M{{N}_{\max }}=HK$.
Ta có $\dfrac{PE}{PF}=\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& PA=\dfrac{10}{3} \\
& PB=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& PE=\dfrac{8}{3} \\
& PF=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow EF=4.$
Ta có $\dfrac{QH}{QK}=\dfrac{QA}{QB}=\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& QA=2QB \\
& QH=2QK \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow QB=AB=5.$
Ta có: $QH=\sqrt{Q{{A}^{2}}-{{R}_{1}}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{2}^{2}}}=4\sqrt{6}\Rightarrow HK=2\sqrt{6}$. Do đó $EF.HK=8\sqrt{6}$.
A. $2\sqrt{6}$.
B. $8\sqrt{5}$.
C. $4\sqrt{5}$.
D. $8\sqrt{6}$.
Gọi ${{S}_{2}}$ mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng ${{R}_{2}}=1$.
Ta có $AB=5>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=3$. Gọi $P;Q$ lần lượt là tâm vị tự trong và ngoài của 2 mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right);\left( {{S}_{2}} \right)$. Qua $P$ và $Q$ vẽ các tiếp tuyến $\text{EF}$ và $HK$.
Suy ra $M{{N}_{\min }}\text{=EF; }M{{N}_{\max }}=HK$.
Ta có $\dfrac{PE}{PF}=\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& PA=\dfrac{10}{3} \\
& PB=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& PE=\dfrac{8}{3} \\
& PF=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow EF=4.$
Ta có $\dfrac{QH}{QK}=\dfrac{QA}{QB}=\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}=2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& QA=2QB \\
& QH=2QK \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow QB=AB=5.$
Ta có: $QH=\sqrt{Q{{A}^{2}}-{{R}_{1}}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{2}^{2}}}=4\sqrt{6}\Rightarrow HK=2\sqrt{6}$. Do đó $EF.HK=8\sqrt{6}$.
Đáp án D.