Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, biết rằng với mọi tham số thực a thay đổi thì mặt phẳng $\left( P \right)$ : $\left( 2\sin a-\cos a \right)x+\left( 2\sin a+\cos a \right)y+\sqrt{6}\cos az+\sin a+3\cos a-2=0$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có bán kính R là
A. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $R=2$.
C. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
D. $R=\dfrac{1}{2}$.
A. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $R=2$.
C. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
D. $R=\dfrac{1}{2}$.
Gọi $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ là tâm mặt cầu. Theo giả thiết, ta có
$R=\dfrac{\left| \left( 2\sin a-\cos a \right){{x}_{0}}+\left( 2\sin a+\cos a \right){{y}_{0}}+\sqrt{6}\cos a{{z}_{0}}+\sin a+3\cos a-2 \right|}{\sqrt{{{\left( 2\sin a-\cos a \right)}^{2}}+{{\left( 2\sin a+\cos a \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{6}\cos a \right)}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| \left( 2\sin a-\cos a \right){{x}_{0}}+\left( 2\sin a+\cos a \right){{y}_{0}}+\sqrt{6}\cos a{{z}_{0}}+\sin a+3\cos a-2 \right|}{2\sqrt{2}}$
Ta tìm ${{x}_{0}}$, ${{y}_{0}}$, ${{z}_{0}}$ sao cho $\left( 2\sin a-\cos a \right){{x}_{0}}+\left( 2\sin a+\cos a \right){{y}_{0}}+\sqrt{6}\cos a{{z}_{0}}+\sin a+3\cos a=0$, $\forall a$
$\Leftrightarrow \left( 2{{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+1 \right)\sin a+\left( -{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+\sqrt{6}{{z}_{0}}+3 \right)\cos a=0$, $\forall a\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+1=0 \\
& -{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+\sqrt{6}{{z}_{0}}+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow R=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$R=\dfrac{\left| \left( 2\sin a-\cos a \right){{x}_{0}}+\left( 2\sin a+\cos a \right){{y}_{0}}+\sqrt{6}\cos a{{z}_{0}}+\sin a+3\cos a-2 \right|}{\sqrt{{{\left( 2\sin a-\cos a \right)}^{2}}+{{\left( 2\sin a+\cos a \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{6}\cos a \right)}^{2}}}}$
$=\dfrac{\left| \left( 2\sin a-\cos a \right){{x}_{0}}+\left( 2\sin a+\cos a \right){{y}_{0}}+\sqrt{6}\cos a{{z}_{0}}+\sin a+3\cos a-2 \right|}{2\sqrt{2}}$
Ta tìm ${{x}_{0}}$, ${{y}_{0}}$, ${{z}_{0}}$ sao cho $\left( 2\sin a-\cos a \right){{x}_{0}}+\left( 2\sin a+\cos a \right){{y}_{0}}+\sqrt{6}\cos a{{z}_{0}}+\sin a+3\cos a=0$, $\forall a$
$\Leftrightarrow \left( 2{{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+1 \right)\sin a+\left( -{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+\sqrt{6}{{z}_{0}}+3 \right)\cos a=0$, $\forall a\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+1=0 \\
& -{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+\sqrt{6}{{z}_{0}}+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow R=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.