Trong không gian Oxyz, biết rằng với mọi tham số thực a thay đổi...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, biết rằng với mọi tham số thực a thay đổi thì mặt phẳng

(P)

:

(2 \sin a - \cos a) x + (2 \sin a + \cos a) y + \sqrt{6} \cos a z + \sin a + 3 \cos a - 2 = 0

luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có bán kính R là
A.

R = \frac{\sqrt{2}}{2}

.
B.

R = 2

.
C.

R = \frac{\sqrt{2}}{4}

.
D.

R = \frac{1}{2}

.

Gọi

I (x_{0}; y_{0}; z_{0})

là tâm mặt cầu. Theo giả thiết, ta có

R = \frac{| (2 \sin a - \cos a) x_{0} + (2 \sin a + \cos a) y_{0} + \sqrt{6} \cos a z_{0} + \sin a + 3 \cos a - 2 |}{\sqrt{{(2 \sin a - \cos a)}^{2} + {(2 \sin a + \cos a)}^{2} + {(\sqrt{6} \cos a)}^{2}}}

= \frac{| (2 \sin a - \cos a) x_{0} + (2 \sin a + \cos a) y_{0} + \sqrt{6} \cos a z_{0} + \sin a + 3 \cos a - 2 |}{2 \sqrt{2}}

Ta tìm

x_{0}

,

y_{0}

,

z_{0}

sao cho

(2 \sin a - \cos a) x_{0} + (2 \sin a + \cos a) y_{0} + \sqrt{6} \cos a z_{0} + \sin a + 3 \cos a = 0

,

\forall a

\Leftrightarrow (2 x_{0} + 2 y_{0} + 1) \sin a + (- x_{0} + y_{0} + \sqrt{6} z_{0} + 3) \cos a = 0

,

\forall a \Leftrightarrow {\begin{aligned} 2 x_{0} + 2 y_{0} + 1 = 0 \\ - x_{0} + y_{0} + \sqrt{6} z_{0} + 3 = 0 \end{aligned} \Rightarrow R = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Đáp án A.