Trong không gian $O x y z$ , biết mặt phẳng $(P)$ đi qua...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, biết mặt phẳng

(P)

đi qua hai điểm

A (2; 0; 0), M (1; 1; 1)

đồng thời

(P)

cắt các tia

O y, O z

theo thứ tự tại hai điểm

B, C

(

B, C

đều không trùng với gốc tọa độ). Khi diện tích tam giác

A B C

nhỏ nhất phương trình mặt phẳng

(P)

là:
A.

y - z = 0.

B.

y + z - 2 = 0.

C.

2 x + y + z - 4 = 0.

D.

x + y - 2 = 0.

Gọi

B (0; b; 0)

và

C (0; 0; c)

(Do

B, C

thuộc tia

O y, O z

nên điều kiện

b, c > 0

) suy ra

(P) : \frac{x}{2} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

Vì

H \in (P)

nên

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{b + c}{b c} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b c = 2 (b + c) \geq 2.2 \sqrt{b c} \Leftrightarrow \sqrt{b c} (\sqrt{b c} - 4) \geq 0 \Leftrightarrow b c \geq 16

S_{A B C} = \frac{1}{2} | [\vec{A B}; \vec{A C}] | = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} + {(2 c)}^{2} + {(2 b)}^{2}} = b^{2} c^{2} + 4 b^{2} + 4 c^{2} \Rightarrow b^{2} c^{2} + 4 (b^{2} + c^{2}) = 4 S_{A B C}^{2}

Mặt khác

\Rightarrow 4 S_{A B C}^{2} = b^{2} c^{2} + {(2 a + 2 b)}^{2} - 8 b c = b^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} - 8 b c = 2 {(b c - 2)}^{2} - 8 \geq 384

Vậy

S_{A B C} \geq 4 \sqrt{6} \Leftrightarrow b = c = 4.

Phương trình mặt phẳng

(P)

khi đó là:

\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1

hay

2 x + y + z - 4 = 0.

Đáp án C.

Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng (P) đi qua...