Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, biết mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A\left( 2;0;0 \right),M\left( 1;1;1 \right)$ đồng thời $\left( P \right)$ cắt các tia $Oy,Oz$ theo thứ tự tại hai điểm $B,C$ ( $B,C$ đều không trùng với gốc tọa độ). Khi diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
A. $y-z=0.$
B. $y+z-2=0.$
C. $2x+y+z-4=0.$
D. $x+y-2=0.$
A. $y-z=0.$
B. $y+z-2=0.$
C. $2x+y+z-4=0.$
D. $x+y-2=0.$
Gọi $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ (Do $B,C$ thuộc tia $Oy,Oz$ nên điều kiện $b,c>0$ ) suy ra
$\left( P \right):\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Vì $H\in \left( P \right)$ nên
$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow bc=2\left( b+c \right)\ge 2.2\sqrt{bc}\Leftrightarrow \sqrt{bc}\left( \sqrt{bc}-4 \right)\ge 0\Leftrightarrow bc\ge 16$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( 2c \right)}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}}={{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}\Rightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=4S_{ABC}^{2}$
Mặt khác $\Rightarrow 4S_{ABC}^{2}={{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{\left( 2a+2b \right)}^{2}}-8bc={{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}-8bc=2{{\left( bc-2 \right)}^{2}}-8\ge 384$
Vậy ${{S}_{ABC}}\ge 4\sqrt{6}\Leftrightarrow b=c=4.$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ khi đó là: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{4}=1$ hay $2x+y+z-4=0.$
$\left( P \right):\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Vì $H\in \left( P \right)$ nên
$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow bc=2\left( b+c \right)\ge 2.2\sqrt{bc}\Leftrightarrow \sqrt{bc}\left( \sqrt{bc}-4 \right)\ge 0\Leftrightarrow bc\ge 16$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( 2c \right)}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}}={{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}\Rightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=4S_{ABC}^{2}$
Mặt khác $\Rightarrow 4S_{ABC}^{2}={{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{\left( 2a+2b \right)}^{2}}-8bc={{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}-8bc=2{{\left( bc-2 \right)}^{2}}-8\ge 384$
Vậy ${{S}_{ABC}}\ge 4\sqrt{6}\Leftrightarrow b=c=4.$
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ khi đó là: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{4}=1$ hay $2x+y+z-4=0.$
Đáp án C.