Google
Câu hỏi: Trong không gian $O xyz$, cho điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+2z+1=0$. Điểm $B$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ thỏa mãn đường thẳng $AB$ vừa cắt vừa vuông góc với $d$. Tọa độ điểm $B$ là:
A. $\left( 6;-7;0 \right)$.
B. $\left( 3;-2;-1 \right)$.
C. $\left( -3;8;-3 \right)$.
D. $\left( 0;3;-2 \right)$.
A. $\left( 6;-7;0 \right)$.
B. $\left( 3;-2;-1 \right)$.
C. $\left( -3;8;-3 \right)$.
D. $\left( 0;3;-2 \right)$.
Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)$. Gọi $M\left( 1+2t;-1+t;2-t \right)$ thuộc đường thẳng $d$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 2t;t-3;3-t \right)$, $AM\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2\left( 2t \right)+\left( t-3 \right)-\left( 3-t \right)=0 \\
& \Leftrightarrow t=1 \\
\end{aligned}$
$\overrightarrow{AM}=\left( 2;-2;2 \right)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ điểm $B$ là nghiệm hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
& x+y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=3 \\
& z=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $B=\left( 0;3;-2 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\left( 2t;t-3;3-t \right)$, $AM\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2\left( 2t \right)+\left( t-3 \right)-\left( 3-t \right)=0 \\
& \Leftrightarrow t=1 \\
\end{aligned}$
$\overrightarrow{AM}=\left( 2;-2;2 \right)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ điểm $B$ là nghiệm hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=-1+t \\
& x+y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=3 \\
& z=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $B=\left( 0;3;-2 \right)$.
Đáp án D.