Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M(0 ; 0 ; 2)$ và song song với mặt phẳng $(P): x+$ $y+z+3=0$ sao cho khoảng cách từ $A(5 ; 0 ; 0)$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là
A. $\overrightarrow{u_1}=(4 ; 1 ; 3)$.
B. $\overrightarrow{u_3}=(4 ;-1 ;-3)$.
C. $\overrightarrow{u_2}=(2 ;-1 ;-3)$.
D. $\overrightarrow{u_4}=(2 ; 1 ;-3)$.
Gọi: $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(P) \Rightarrow d \subset(Q)$
Mặt phẳng: $(Q): x+y+z-2=0$
Gọi: $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(Q)$
Khi đó tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình:
$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l }
{ x = 5 + t } \\
{ y = t } \\
{ z = t } \\
{ x + y + z - 2 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
t=-1 \\
x=4 \\
y=-1 \\
z=-1
\end{array} \Rightarrow H(4 ;-1 ;-1)\right.\right. \\
& \text { Kẻ: } A N \perp d \Rightarrow d_{(A,(d))}=A N \geq A H=\sqrt{3} \\
& \text { Vậy: } \operatorname{mind}_{(A,(d))}=\sqrt{3} \text {, khi: } H \equiv N \\
& \text { Khi đó: } \overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{M H}=(4 ;-1 ;-3) \text {. } \\
&
\end{aligned}
$
A. $\overrightarrow{u_1}=(4 ; 1 ; 3)$.
B. $\overrightarrow{u_3}=(4 ;-1 ;-3)$.
C. $\overrightarrow{u_2}=(2 ;-1 ;-3)$.
D. $\overrightarrow{u_4}=(2 ; 1 ;-3)$.
Mặt phẳng: $(Q): x+y+z-2=0$
Gọi: $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(Q)$
Khi đó tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình:
$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l }
{ x = 5 + t } \\
{ y = t } \\
{ z = t } \\
{ x + y + z - 2 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
t=-1 \\
x=4 \\
y=-1 \\
z=-1
\end{array} \Rightarrow H(4 ;-1 ;-1)\right.\right. \\
& \text { Kẻ: } A N \perp d \Rightarrow d_{(A,(d))}=A N \geq A H=\sqrt{3} \\
& \text { Vậy: } \operatorname{mind}_{(A,(d))}=\sqrt{3} \text {, khi: } H \equiv N \\
& \text { Khi đó: } \overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{M H}=(4 ;-1 ;-3) \text {. } \\
&
\end{aligned}
$
Đáp án B.
