Trong không gian $O x y z$, cho tam giác nhọn $A B C$ có $H(2 ; 2...

Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai góc vuông cùng nhìn dưới một góc vuông) suy ra
Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai góc vuông cùng nhìn dưới một góc vuông) suy ra
Từ (1) và (2) suy ra . Do đó là đường phân giác trong của góc và là đường phân giác ngoài của góc .
Tương tự ta chứng minh được là đường phân giác trong của góc và là đường phân giác ngoài của góc .
Ta có .
Gọi lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc và .
Ta có ta có .
Ta có ta có .
Đường thẳng qua nhận làm vec tơ chỉ phương có phương trình
Đường thẳng qua nhận làm vec tơ chỉ phương có phương .
Khi đó , giải hệ ta tìm được .
Ta có và , ta tính .
Khi đó đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có véc tơ chỉ phương nên có phương trình .
Nhận xét:
* Mấu chốt của bài toán trên là chứng minh trực tâm của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm dựa vào tính chất quen thuộc sau: "Cho tam giác với là tâm đường tròn nội tiếp, ta có , với ". Sau khi tìm được , ta tìm được với chú ý rằng và .
* Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm bằng cách chứng minh là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác . Khi đó, ta tìm tọa độ điểm dựa vào tính chất quen thuộc sau: "Cho tam giác với là tâm đường tròn bàng tiếp góc , ta có , với ".