Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho tam giác $A B C$ có $A(2 ; 3 ; 3)$, phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$ là $\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$, phương trình đường phân giác trong của góc $C$ là $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-4}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$. Đường thẳng $A B$ có một véc-tơ chỉ phương là
A. $\vec{u}_3=(2 ; 1 ;-1)$.
B. $\vec{u}_2=(1 ;-1 ; 0)$
C. $\vec{u}_4=(0 ; 1 ;-1)$.
D. $\vec{u}_1=(1 ; 2 ; 1)$.
A. $\vec{u}_3=(2 ; 1 ;-1)$.
B. $\vec{u}_2=(1 ;-1 ; 0)$
C. $\vec{u}_4=(0 ; 1 ;-1)$.
D. $\vec{u}_1=(1 ; 2 ; 1)$.
Phương trình tham số của đường phân giác trong góc $C$ là $C D:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-t \\ z=2-t\end{array}\right.$.
Gọi $C=(2+2 t ; 4-t ; 2-t)$, suy ra tọa độ trung điểm $M$ của $A C$ là $M=\left(2+t ; \dfrac{7-t}{2} ; \dfrac{5-t}{2}\right)$. Vì $M \in B M$ nên:
$\dfrac{(2+t)-3}{-1}=\dfrac{\left(\dfrac{7-t}{2}\right)-3}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{5-t}{2}\right)-2}{-1} \Leftrightarrow \dfrac{t-1}{-1}=\dfrac{1-t}{4}=\dfrac{1-t}{-2} \Rightarrow t=1$.
Do đó $C=(4 ; 3 ; 1)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc $C D$ là
2. $(x-2)-1 .(y-3)-1 \cdot(z-3)=0$ hay $2 x-y-z+2=0$.
Tọa độ giao điểm $H$ của $(P)$ và $C D$ là nghiệm $(x ; y ; z)$ của hệ $\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2 x-y-z+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2(2+2 t)-(4-t)-(2-t)+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=4 \\ z=2 \\ t=0\end{array} \Rightarrow H(2 ; 4 ; 2)\right.\right.\right.$. Gọi $A^{\prime}$ là điềm đối xứng với $A$ qua đường phân giác $C D$, suy ra $H$ là trung điểm $A A^{\prime}$, bởi vậy:
$
\left\{\begin{array}{l}
x_A=2 x_H-x_A=2.2-2=2 \\
y_A=2 y_H-y_A=2.4-3=5 \\
x_A=2 z_H-z_A=2.2-3=1
\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(2 ; 5 ; 1) .\right.
$
Do $A^{\prime} \in B C$ nên đường thẳng $B C$ có véc-tơ chì phương là $\overrightarrow{C A^{\prime}}=(-2 ; 2 ; 0)=2(-1 ; 1 ; 0)$, nên phương trình đường thẳng $B C$ là $\left\{\begin{array}{l}x=4-t \\ y=3+t \\ z=1\end{array}\right.$.
Vì $B=B M \cap B C$ nên tọa độ $B$ là nghiệm $(x ; y ; z)$ của hệ
$
\left\{\begin{array} { l }
{ x = 4 - t } \\
{ y = 3 + t } \\
{ z = 1 } \\
{ \dfrac { x - 3 } { - 1 } = \dfrac { y - 3 } { 2 } = 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=2 \\
y=5 \\
z=1 \\
t=2
\end{array} \Rightarrow B(2 ; 5 ; 1) \equiv A^{\prime} .\right.\right.
$
Đường thẳng $A B$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{A B}=(0 ; 2 ;-2)=2(0 ; 1 ;-1)$ ; hay $\vec{u}_4=(0 ; 1 ;-1)$ là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng $A B$.
Gọi $C=(2+2 t ; 4-t ; 2-t)$, suy ra tọa độ trung điểm $M$ của $A C$ là $M=\left(2+t ; \dfrac{7-t}{2} ; \dfrac{5-t}{2}\right)$. Vì $M \in B M$ nên:
$\dfrac{(2+t)-3}{-1}=\dfrac{\left(\dfrac{7-t}{2}\right)-3}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{5-t}{2}\right)-2}{-1} \Leftrightarrow \dfrac{t-1}{-1}=\dfrac{1-t}{4}=\dfrac{1-t}{-2} \Rightarrow t=1$.
Do đó $C=(4 ; 3 ; 1)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc $C D$ là
2. $(x-2)-1 .(y-3)-1 \cdot(z-3)=0$ hay $2 x-y-z+2=0$.
Tọa độ giao điểm $H$ của $(P)$ và $C D$ là nghiệm $(x ; y ; z)$ của hệ $\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2 x-y-z+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=4-t \\ z=2-t \\ 2(2+2 t)-(4-t)-(2-t)+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=4 \\ z=2 \\ t=0\end{array} \Rightarrow H(2 ; 4 ; 2)\right.\right.\right.$. Gọi $A^{\prime}$ là điềm đối xứng với $A$ qua đường phân giác $C D$, suy ra $H$ là trung điểm $A A^{\prime}$, bởi vậy:
$
\left\{\begin{array}{l}
x_A=2 x_H-x_A=2.2-2=2 \\
y_A=2 y_H-y_A=2.4-3=5 \\
x_A=2 z_H-z_A=2.2-3=1
\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(2 ; 5 ; 1) .\right.
$
Do $A^{\prime} \in B C$ nên đường thẳng $B C$ có véc-tơ chì phương là $\overrightarrow{C A^{\prime}}=(-2 ; 2 ; 0)=2(-1 ; 1 ; 0)$, nên phương trình đường thẳng $B C$ là $\left\{\begin{array}{l}x=4-t \\ y=3+t \\ z=1\end{array}\right.$.
Vì $B=B M \cap B C$ nên tọa độ $B$ là nghiệm $(x ; y ; z)$ của hệ
$
\left\{\begin{array} { l }
{ x = 4 - t } \\
{ y = 3 + t } \\
{ z = 1 } \\
{ \dfrac { x - 3 } { - 1 } = \dfrac { y - 3 } { 2 } = 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=2 \\
y=5 \\
z=1 \\
t=2
\end{array} \Rightarrow B(2 ; 5 ; 1) \equiv A^{\prime} .\right.\right.
$
Đường thẳng $A B$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{A B}=(0 ; 2 ;-2)=2(0 ; 1 ;-1)$ ; hay $\vec{u}_4=(0 ; 1 ;-1)$ là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng $A B$.
Đáp án C.