Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$ cho mặt phẳng $(P): x+2 y-2 z+1=0$ và điểm $A(-1 ; 0 ; 1)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc với $(P)$ sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(\alpha)$ là lớn nhất. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$
A. $(1 ; 2 ;-2)$
B. $(-2 ; 2 ; 1)$
C. $(0 ; 3 ; 2)$
D. $(7 ;-4 ; 5)$
A. $(1 ; 2 ;-2)$
B. $(-2 ; 2 ; 1)$
C. $(0 ; 3 ; 2)$
D. $(7 ;-4 ; 5)$
Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ có phương trình: $a(x+1)+b y+c(z-1)=0 ;\left(a^2+b^2+c^2>0\right)$ Vì mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $(P)$ nên $a+2 b-2 c=0 \Rightarrow a=-2 b+2 c$
Ta có: $d(O ;(\alpha))=\dfrac{|a-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|-2 b+2 c-c|}{\sqrt{5 b^2-8 b c+5 c^2}}=\dfrac{|2 b-c|}{\sqrt{5 b^2-8 b c+5 c^2}}$
Nếu $c=0$ thì $d(O ;(\alpha))=\dfrac{2}{\sqrt{5}}<1$
Nếu $c \neq 0$ thì $d(O ;(\alpha))=\dfrac{\left|2 \dfrac{b}{c}-1\right|}{\sqrt{5\left(\dfrac{b}{c}\right)^2-8 \dfrac{b}{c}+5}}$
Đặt $t=\dfrac{b}{c} \in \mathbb{R}$. Xét hàm số $f(t)=\dfrac{2 t-1}{\sqrt{5 t^2-8 t+5}} ; f^{\prime}(t)=\dfrac{-3 t+6}{\sqrt{\left(5 t^2-8 t+5\right)^3}}=0 \Leftrightarrow t=2$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên ta thấy: $d(O ;(\alpha))_{\max }=\max |f(t)|=1$ đạt được khi $t=2 \Rightarrow b=2 c ; a=$ $-2 c$.
Vậy $d(O ;(\alpha))_{\max }=\max |f(t)|=1$ đạt được khi $t=2 \Rightarrow b=2 c ; a=-2 c$. Khi đó, ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phằng $(\alpha)$ là $\bar{n}(-2 ; 2 ; 1)$.
Ta có: $d(O ;(\alpha))=\dfrac{|a-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|-2 b+2 c-c|}{\sqrt{5 b^2-8 b c+5 c^2}}=\dfrac{|2 b-c|}{\sqrt{5 b^2-8 b c+5 c^2}}$
Nếu $c=0$ thì $d(O ;(\alpha))=\dfrac{2}{\sqrt{5}}<1$
Nếu $c \neq 0$ thì $d(O ;(\alpha))=\dfrac{\left|2 \dfrac{b}{c}-1\right|}{\sqrt{5\left(\dfrac{b}{c}\right)^2-8 \dfrac{b}{c}+5}}$
Đặt $t=\dfrac{b}{c} \in \mathbb{R}$. Xét hàm số $f(t)=\dfrac{2 t-1}{\sqrt{5 t^2-8 t+5}} ; f^{\prime}(t)=\dfrac{-3 t+6}{\sqrt{\left(5 t^2-8 t+5\right)^3}}=0 \Leftrightarrow t=2$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên ta thấy: $d(O ;(\alpha))_{\max }=\max |f(t)|=1$ đạt được khi $t=2 \Rightarrow b=2 c ; a=$ $-2 c$.
Vậy $d(O ;(\alpha))_{\max }=\max |f(t)|=1$ đạt được khi $t=2 \Rightarrow b=2 c ; a=-2 c$. Khi đó, ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phằng $(\alpha)$ là $\bar{n}(-2 ; 2 ; 1)$.
Đáp án B.