Google
Câu hỏi: Trong không gian $\left( Oxyz \right)$ cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-10=0,A\left( 3 ; 0 ; 4 \right)$ thuộc $\left( P \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+t \\
y=t \\
z=-2t \\
\end{array}\quad \left( t\in \mathbb{R} \right) \right. $. Gọi $ \Delta $ là đường thẳng nằm trong $ \left( P \right) $ và đi qua $ A $ sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng $ d $ và $ \Delta $ lớn nhất. Véc tơ nào dưới đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $ \Delta$?
A. $\vec{u}\left( 1 ; -3 ; -5 \right)$.
B. $\vec{u}\left( 3 ; 1 ; -5 \right)$.
C. $\vec{u}\left( 3 ; -1 ; -7 \right)$.
D. $\vec{u}\left( 1 ; 1 ; -1 \right)$.
x=1+t \\
y=t \\
z=-2t \\
\end{array}\quad \left( t\in \mathbb{R} \right) \right. $. Gọi $ \Delta $ là đường thẳng nằm trong $ \left( P \right) $ và đi qua $ A $ sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng $ d $ và $ \Delta $ lớn nhất. Véc tơ nào dưới đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $ \Delta$?
A. $\vec{u}\left( 1 ; -3 ; -5 \right)$.
B. $\vec{u}\left( 3 ; 1 ; -5 \right)$.
C. $\vec{u}\left( 3 ; -1 ; -7 \right)$.
D. $\vec{u}\left( 1 ; 1 ; -1 \right)$.
$d\left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{1}}=\left( 1;1;-2 \right) \\
& {{M}_{1}}\left( 1;0;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Gọi VTCP của đường thẳng $ \Delta $ là $ {{\vec{u}}_{2}}\left( a;b;c \right)$. Ta có:
${{\vec{u}}_{2}}.{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=0\Rightarrow 2a-b+c=0\Rightarrow b=2a+c$.
Nên $\Delta \left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{2}}=\left( a;2a+c;c \right) \\
& A=\left( 3;0;4 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{1}}=\left( 1;1;-2 \right) \\
& {{{\vec{u}}}_{2}}=\left( a;2a+c;c \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right]=\left( 3c+4a;-c-2a;a+c \right)$
mà $\overrightarrow{{{M}_{1}}A}\left( 2;0;4 \right)$.
Suy ra $d\left( d,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}A} \right|}{\left| \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right] \right|}=\dfrac{\left| 6c+8a+4a+4c \right|}{\sqrt{{{\left( 3c+4a \right)}^{2}}+{{\left( c+2a \right)}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{\left| 12a+10c \right|}{\sqrt{21{{a}^{2}}+11{{c}^{2}}+30ac}}$.
Nếu $c=0\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\dfrac{12}{\sqrt{21}}$.
Nếu $c\ne 0\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\sqrt{\dfrac{{{\left( 12t+10 \right)}^{2}}}{21{{t}^{2}}+30t+11}}$.
Xét hàm $f\left( t \right)=\dfrac{144{{t}^{2}}+240t+100}{21{{t}^{2}}+30t+11}$ trên $\mathbb{R}$. Dễ dàng suy ra được $f\left( t \right)\le f\left( -\dfrac{3}{5} \right)=14$.
Vậy $d\left( d,\Delta \right)\le \sqrt{14}$, đạt được $t=-\dfrac{3}{5}=\dfrac{a}{c}\Rightarrow $ chọn $a=3;c=-5\Rightarrow b=1$.
& {{{\vec{u}}}_{1}}=\left( 1;1;-2 \right) \\
& {{M}_{1}}\left( 1;0;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Gọi VTCP của đường thẳng $ \Delta $ là $ {{\vec{u}}_{2}}\left( a;b;c \right)$. Ta có:
${{\vec{u}}_{2}}.{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=0\Rightarrow 2a-b+c=0\Rightarrow b=2a+c$.
Nên $\Delta \left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{2}}=\left( a;2a+c;c \right) \\
& A=\left( 3;0;4 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ \left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{1}}=\left( 1;1;-2 \right) \\
& {{{\vec{u}}}_{2}}=\left( a;2a+c;c \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right]=\left( 3c+4a;-c-2a;a+c \right)$
mà $\overrightarrow{{{M}_{1}}A}\left( 2;0;4 \right)$.
Suy ra $d\left( d,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}A} \right|}{\left| \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right] \right|}=\dfrac{\left| 6c+8a+4a+4c \right|}{\sqrt{{{\left( 3c+4a \right)}^{2}}+{{\left( c+2a \right)}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{\left| 12a+10c \right|}{\sqrt{21{{a}^{2}}+11{{c}^{2}}+30ac}}$.
Nếu $c=0\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\dfrac{12}{\sqrt{21}}$.
Nếu $c\ne 0\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\sqrt{\dfrac{{{\left( 12t+10 \right)}^{2}}}{21{{t}^{2}}+30t+11}}$.
Xét hàm $f\left( t \right)=\dfrac{144{{t}^{2}}+240t+100}{21{{t}^{2}}+30t+11}$ trên $\mathbb{R}$. Dễ dàng suy ra được $f\left( t \right)\le f\left( -\dfrac{3}{5} \right)=14$.
Vậy $d\left( d,\Delta \right)\le \sqrt{14}$, đạt được $t=-\dfrac{3}{5}=\dfrac{a}{c}\Rightarrow $ chọn $a=3;c=-5\Rightarrow b=1$.
Đáp án B.