Google
Câu hỏi: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$ và các điểm $A\left( 1;0;2 \right),B\left( -1;2;2 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của $\left( P \right)$ với mặt cầu $\left( S \right)$ có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình $\left( P \right)$ dưới dạng $ax+by+cz+d=0$. Tính $T=a+b+c.$
A. 3.
B. $-3.$
C. 0.
D. $-2$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính là $R=4$.
Ta có A, B nằm trong mặt cầu.
Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu của I lên thiết diện.
Ta có diện tích thiết diện bằng $S=\pi {{r}^{2}}=\pi \left( {{R}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)$.
Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi IH lớn nhất.
Mà $IH\le IK$ suy ra $(P)$ qua A, B và vuông góc với IK.
Ta có $IA=IB=\sqrt{5}$ suy ra K là trung điểm của AB.
Vậy $K\left( 0;1;2 \right)$ và $\overrightarrow{KI}=\left( 1;1;1 \right)$.
Vậy $\left( P \right):\left( x-1 \right)+y+\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow -x-y-z+3=0$.
Vậy $T=-3.$
A. 3.
B. $-3.$
C. 0.
D. $-2$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính là $R=4$.
Ta có A, B nằm trong mặt cầu.
Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu của I lên thiết diện.
Ta có diện tích thiết diện bằng $S=\pi {{r}^{2}}=\pi \left( {{R}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)$.
Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi IH lớn nhất.
Mà $IH\le IK$ suy ra $(P)$ qua A, B và vuông góc với IK.
Ta có $IA=IB=\sqrt{5}$ suy ra K là trung điểm của AB.
Vậy $K\left( 0;1;2 \right)$ và $\overrightarrow{KI}=\left( 1;1;1 \right)$.
Vậy $\left( P \right):\left( x-1 \right)+y+\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow -x-y-z+3=0$.
Vậy $T=-3.$
Đáp án B.