Google
Câu hỏi: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ : $4x+2y+4z+7=0$. Hai mặt cầu có bán kính là ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$ chứa đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ : $3y-4z-20=0$. Tổng ${{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ bằng
A. $\dfrac{65}{8}$.
B. 5.
C. $\dfrac{63}{8}$.
D. $\dfrac{35}{8}$.
A. $\dfrac{65}{8}$.
B. 5.
C. $\dfrac{63}{8}$.
D. $\dfrac{35}{8}$.
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-9+m\left( 4x+2y+4z \right)+7m=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2m \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}+{{\left( z+2m \right)}^{2}}=9+9{{m}^{2}}-7m$
Suy ra, $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2m;-m;-2m \right)$ và bán kính $R=\sqrt{9{{m}^{2}}-7m+9}$
$\Rightarrow d\left( I;\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| -3m+8m-20 \right|}{5}=\sqrt{9{{m}^{2}}-7m+9}$
$\Leftrightarrow \left| m-4 \right|=\sqrt{9{{m}^{2}}-7m+9}\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+m-7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1\Rightarrow {{R}_{1}}=5 \\
& m=\dfrac{7}{8}\Rightarrow {{R}_{2}}=\dfrac{25}{8} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\dfrac{65}{8}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2m \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}+{{\left( z+2m \right)}^{2}}=9+9{{m}^{2}}-7m$
Suy ra, $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2m;-m;-2m \right)$ và bán kính $R=\sqrt{9{{m}^{2}}-7m+9}$
$\Rightarrow d\left( I;\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| -3m+8m-20 \right|}{5}=\sqrt{9{{m}^{2}}-7m+9}$
$\Leftrightarrow \left| m-4 \right|=\sqrt{9{{m}^{2}}-7m+9}\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+m-7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1\Rightarrow {{R}_{1}}=5 \\
& m=\dfrac{7}{8}\Rightarrow {{R}_{2}}=\dfrac{25}{8} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\dfrac{65}{8}$
Đáp án A.