Google
Câu hỏi: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( 1;2;3 \right).$ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC.
A. $\left( P \right):6x+3y+2z+18=0.$
B. $\left( P \right):6x+3y+2z+6=0.$
C. $\left( P \right):6x+3y+2z-18=0.$
D. $\left( P \right):6x+3y+2z-6=0.$
A. $\left( P \right):6x+3y+2z+18=0.$
B. $\left( P \right):6x+3y+2z+6=0.$
C. $\left( P \right):6x+3y+2z-18=0.$
D. $\left( P \right):6x+3y+2z-6=0.$
Gọi $A\left( a;0;0 \right),$ $B\left( 0;b;0 \right),$ $C\left( 0;0;c \right)$ lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox, Oy, Oz.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Do $M\left( 1;2;3 \right)$ là trọng tâm tam giác ABC
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{a}}+{{x}_{b}}+{{x}_{c}}=3{{x}_{M}} \\
& {{y}_{a}}+{{y}_{b}}+{{y}_{c}}=3{{y}_{M}} \\
& {{z}_{a}}+{{z}_{b}}+{{z}_{c}}=3{{z}_{M}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+0+0=3.1 \\
& 0+b+0=3.2 \\
& 0+0+c=3.3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-18=0.$
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Do $M\left( 1;2;3 \right)$ là trọng tâm tam giác ABC
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{a}}+{{x}_{b}}+{{x}_{c}}=3{{x}_{M}} \\
& {{y}_{a}}+{{y}_{b}}+{{y}_{c}}=3{{y}_{M}} \\
& {{z}_{a}}+{{z}_{b}}+{{z}_{c}}=3{{z}_{M}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+0+0=3.1 \\
& 0+b+0=3.2 \\
& 0+0+c=3.3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-18=0.$
Đáp án C.