Google
Câu hỏi: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
B. $\tan \varphi =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
C. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB. Trong mặt phẳng (SAB) có $SH\bot AB\Rightarrow SH\bot d.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot HK \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SHK \right)\Rightarrow CD\bot SK\Rightarrow d\bot SK.$
Từ đó suy ra $\widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)}=\widehat{SH,SK}=\widehat{HSK}.$
Trong tam giác vuông SHK, có $\tan \widehat{HSK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
A. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
B. $\tan \varphi =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
C. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\tan \varphi =\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB. Trong mặt phẳng (SAB) có $SH\bot AB\Rightarrow SH\bot d.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot HK \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SHK \right)\Rightarrow CD\bot SK\Rightarrow d\bot SK.$
Từ đó suy ra $\widehat{\left( SAB \right),\left( SCD \right)}=\widehat{SH,SK}=\widehat{HSK}.$
Trong tam giác vuông SHK, có $\tan \widehat{HSK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án B.