Google
Câu hỏi: Trong không gian cho tam giác ABCđều cạnh bằng 8, Mlà một điểm tùy ý thỏa mãn $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=100$ Khi đó, quỹ tích điểm M là một mặt cầu có bán kính bằng bao nhiêu?
A. 6
B. $3\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 2
A. 6
B. $3\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 2
Phương pháp:
Biến đổi vecto để đưa về MK= xvới xlà hằng số thì quỹ tích điểm Mlà mặt cầu tâm Kcó bán kính bằng x.
Cách giải:
Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC.
Tam giác ABClà tam giác đều có cạn bằng 8 nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=0 \\
& GA=GB=GC=\dfrac{\sqrt{3}}{3}AB=\dfrac{8\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \begin{array}{*{35}{l}}
M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+MC{{~}^{2}}=100~ \\
\Leftrightarrow \overline{M{{A}^{2}}}+\overline{M{{B}^{2}}}+\overline{MC{{~}^{2}}}~=~100 \\
\Leftrightarrow {{\left( \overline{MG}+\overline{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overline{MG}+\overline{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overline{MG}+\overline{GC} \right)}^{2}}~=~100~ \\
\Leftrightarrow M{{G}^{2}}+2\overline{MG}\text{.}\overline{GA}+G{{A}^{2}}+M{{G}^{2}}+2\overline{MG}.\overline{GB}+G{{B}^{2}}+M{{G}^{2}}+2\overline{MG.}\overline{GC}+GC{{~}^{2}}~=~100~ \\
\end{array} \\
& \Leftrightarrow 3M{{G}^{2}}+2\overline{MG}.\overline{0}+3G{{A}^{2}}=100 \\
& \Leftrightarrow 3M{{G}^{2}}+3{{\left( \dfrac{8\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=100 \\
& \Leftrightarrow M{{G}^{2}}=12\Leftrightarrow MG=2\sqrt{3} \\
\end{aligned}$
Vậy quỹ tích điểm Mlà mặt cầu tâm Gcó bán kính bằng $2\sqrt{3}$
Biến đổi vecto để đưa về MK= xvới xlà hằng số thì quỹ tích điểm Mlà mặt cầu tâm Kcó bán kính bằng x.
Cách giải:
Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC.
Tam giác ABClà tam giác đều có cạn bằng 8 nên
$\left\{ \begin{aligned}
& \overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=0 \\
& GA=GB=GC=\dfrac{\sqrt{3}}{3}AB=\dfrac{8\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \begin{array}{*{35}{l}}
M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+MC{{~}^{2}}=100~ \\
\Leftrightarrow \overline{M{{A}^{2}}}+\overline{M{{B}^{2}}}+\overline{MC{{~}^{2}}}~=~100 \\
\Leftrightarrow {{\left( \overline{MG}+\overline{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overline{MG}+\overline{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overline{MG}+\overline{GC} \right)}^{2}}~=~100~ \\
\Leftrightarrow M{{G}^{2}}+2\overline{MG}\text{.}\overline{GA}+G{{A}^{2}}+M{{G}^{2}}+2\overline{MG}.\overline{GB}+G{{B}^{2}}+M{{G}^{2}}+2\overline{MG.}\overline{GC}+GC{{~}^{2}}~=~100~ \\
\end{array} \\
& \Leftrightarrow 3M{{G}^{2}}+2\overline{MG}.\overline{0}+3G{{A}^{2}}=100 \\
& \Leftrightarrow 3M{{G}^{2}}+3{{\left( \dfrac{8\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=100 \\
& \Leftrightarrow M{{G}^{2}}=12\Leftrightarrow MG=2\sqrt{3} \\
\end{aligned}$
Vậy quỹ tích điểm Mlà mặt cầu tâm Gcó bán kính bằng $2\sqrt{3}$
Đáp án C.