Google
Câu hỏi: Trong không gian, cho hai điểm A, B cố định có độ dài AB bằng 6. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho $MA=\sqrt{2}MB$ là một mặt cầu có bán kính bằng:
A. $6\sqrt{2}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}.$
D. 6.
A. $6\sqrt{2}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}.$
D. 6.
Cách 1:
Ta có: $MA=\sqrt{2}MB\Leftrightarrow {{\overline{MA}}^{2}}=2{{\overline{MB}}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}=I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}-2\overrightarrow{MI}\left( 2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA} \right)$.
Gọi I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}$ nên $IB=6;IA=12$.
Suy ra $M{{I}^{2}}=I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}={{12}^{2}}-{{2.6}^{2}}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}=72\Rightarrow MI=6\sqrt{2}$ suy ra $M\in S\left( I;6\sqrt{2} \right)$.
Cách 2: Gọi $A=\left( 0;0;0 \right),B=\left( 0;0;6 \right),M=\left( x;y;z \right)$.
Ta có: $MA=\sqrt{2}MB\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=2M{{B}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}} \right]\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2.12z+72=0$.
Do đó M thuộc mặt cầu S có tâm $I\left( 0;0;12 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{12}^{2}}-72}\Rightarrow R=6\sqrt{2}$.
Ta có: $MA=\sqrt{2}MB\Leftrightarrow {{\overline{MA}}^{2}}=2{{\overline{MB}}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}=I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}-2\overrightarrow{MI}\left( 2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA} \right)$.
Gọi I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}\Leftrightarrow \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}$ nên $IB=6;IA=12$.
Suy ra $M{{I}^{2}}=I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}={{12}^{2}}-{{2.6}^{2}}\Leftrightarrow M{{I}^{2}}=72\Rightarrow MI=6\sqrt{2}$ suy ra $M\in S\left( I;6\sqrt{2} \right)$.
Cách 2: Gọi $A=\left( 0;0;0 \right),B=\left( 0;0;6 \right),M=\left( x;y;z \right)$.
Ta có: $MA=\sqrt{2}MB\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=2M{{B}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}} \right]\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2.12z+72=0$.
Do đó M thuộc mặt cầu S có tâm $I\left( 0;0;12 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{12}^{2}}-72}\Rightarrow R=6\sqrt{2}$.
Đáp án A.